高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试导学案及答案，共9页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为( )
A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
答案 B
解析 S＝eq \f(1,2)αr2＝r2＝16，∴r＝4，l＝αr＝2×4＝8，故选B.
2．sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．－cs 10°
答案 A
解析 sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°＝－cs(40°＋50°)＝0.
3．已知角θ终边经过点(3，－4)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋θ)))等于( )
A.eq \f(4,3) B．－eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 C
解析 由三角函数的定义可得tan θ＝－eq \f(4,3)，
因此，eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·csπ＋θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋θ)))＝eq \f(－cs θ·－cs θ,cs θ·－sin θ)＝－eq \f(1,tan θ)＝eq \f(3,4).
4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 A
解析 ∵最小正周期为π，∴ω＝2，
又图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝±1，故只有A符合．
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(4kπ,3)，\f(11π,12)＋\f(4kπ,3)))，k∈Z
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(13π,12)＋kπ，－\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ，\f(11π,12)＋2kπ))，k∈Z
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(13π,12)＋\f(3kπ,4)，－\f(5π,12)＋\f(3kπ,4)))，k∈Z
答案 A
解析 易得周期T满足eq \f(3,4)T＝eq \f(7π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)))＝π，故T＝eq \f(4,3)π.且图中最高点横坐标x＝eq \f(7π,12)－eq \f(1,4)T＝eq \f(7π,12)－eq \f(1,4)×eq \f(4,3)π＝eq \f(π,4).故一个单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,4)＋\f(T,2)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(11π,12))).又函数周期为T＝eq \f(4,3)π.故单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(4kπ,3)，\f(11π,12)＋\f(4kπ,3)))，k∈Z.
6．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤xA．1 B．2 C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(3)＋2
答案 B
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)·\f(sin x,cs x)))cs x
＝cs x＋eq \r(3)sin x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，0≤x所以当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值2.
7．若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,4)个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＋1
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))－1 D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,2)))－1
答案 B
解析 把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标保持不变)，得到y＝
sin 2x，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＋1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＋1.
8．若0<αA.eq \f(1,27) B.eq \f(5,27) C.eq \f(1,3) D.eq \f(23,27)
答案 C
解析 由题设eq \f(π,2)<β<π，cs β＝－eq \f(1,3)⇒sin β＝eq \f(2\r(2),3)，又0<α＝－eq \r(1－\f(49,81))＝－eq \f(4\r(2),9)，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β＝eq \f(7,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋eq \f(4\r(2),9)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(1,3).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．给出下列函数：①y＝cs|2x|；②y＝|cs x|；③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))；④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).其中最小正周期为π的有( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 ABC
解析 ①中，y＝cs|2x|＝cs 2x，其最小正周期为π；②中，知y＝|cs x|是y＝cs x将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y＝|cs x|的最小正周期为π；③中，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；
④中，y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq \f(π,2).
10．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,12)
C．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则函数f(x)的最小值为eq \r(3)＋1
D．若0答案 BC
解析 A项，令2x－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)知函数f(x)关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(kπ,2)，1))(k∈Z)对称，所以A不成立；
B项，令2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)知函数f(x)关于x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)对称，所以B成立；
C项，若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，
则函数f(x)的最小值为eq \r(3)＋1，C成立；
D项，由于当011．若cs 2θ＋cs θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于( )
A．0 B.eq \r(3)
C．－eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 ABC
解析 由cs 2θ＋cs θ＝0得2cs2θ－1＋cs θ＝0，
所以cs θ＝－1或eq \f(1,2).
当cs θ＝－1时，有sin θ＝0；
当cs θ＝eq \f(1,2)时，有sin θ＝±eq \f(\r(3),2).
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cs θ＋1)＝0或eq \r(3)或－eq \r(3).
12．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，sin x≥cs x，,cs x，sin xA．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π答案 ABC
解析 画出函数f(x)的图象如图所示，由图象容易看出：该函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，函数取得最小值－eq \f(\r(2),2)；当且仅当2kπ＋π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知cs(45°＋α)＝eq \f(5,13)，则cs(135°－α)＝________.
答案 －eq \f(5,13)
解析 cs(135°－α)＝cs[180°－(45°＋α)]
＝－cs(45°＋α)＝－eq \f(5,13).
14．若tan α＝eq \f(1,4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝________，tan 2α＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 eq \f(3,5) eq \f(8,15)
解析 由题意知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(tan \f(π,4)－tan α,1＋tan \f(π,4)tan α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝eq \f(3,5)，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(8,15).
15．设函数f(x)＝2cs2x＋eq \r(3)sin 2x＋a，已知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.
答案 －2
解析 f(x)＝1＋cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＋a
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6))).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
∴f(x)min＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋a＋1＝a.∴a＝－2.
16．函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为________．
答案 eq \f(π,8)
解析 ∵函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴ω＝eq \f(2π,π)＝2，即f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))(x∈R)，
将y＝f(x)的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度，
所得函数为g(x)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(π,4)))，
又所得图象关于原点对称，
∴2φ＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)，k∈Z，又0<φ∴φ＝eq \f(π,8).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知eq \f(π,2)<α<π，sin α＝eq \f(4,5).
(1)求eq \f(sin α＋cs α,2sin α－cs α)的值；
(2)求cs 2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
解 (1)∵eq \f(π,2)<α<π，且sin α＝eq \f(4,5)，∴cs α＝－eq \f(3,5)，
∴tan α＝－eq \f(4,3).
eq \f(sin α＋cs α,2sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,2tan α－1)
＝eq \f(－\f(1,3),－\f(8,3)－1)＝eq \f(1,11).
(2)cs 2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝1－2sin2α＋cs α＝1－2×eq \f(16,25)－eq \f(3,5)＝－eq \f(22,25).
18．(12分)已知函数f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x)
＝2cs x(sin x－cs x)
＝sin 2x－cs 2x－1
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－1，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
(k∈Z)．
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(7π,8)(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．
19．(12分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，且图象上与点P最近的一个最低点是Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(3,8)，且α为第三象限的角，求sin α＋cs α的值．
解 (1)根据题意可知，A＝2，eq \f(T,4)＝eq \f(π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(π,4)，
∴T＝eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2.
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝0，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝0，而|φ|∴φ＝－eq \f(π,6).
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2)由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(3,8)可得，2sin 2α＝eq \f(3,8)，即sin 2α＝eq \f(3,16).
∵α为第三象限的角，∴sin α＋cs α
＝－eq \r(1＋sin 2α)＝－eq \r(1＋\f(3,16))＝－eq \f(\r(19),4).
20．(12分)求证：sin3αsin 3α＋cs3αcs 3α＝cs32α.
证明 左边＝sin2αsin αsin 3α＋cs2αcs αcs 3α
＝eq \f(1－cs 2α,2)sin αsin 3α＋eq \f(1＋cs 2α,2)cs αcs 3α
＝eq \f(1,2)(sin αsin 3α＋cs αcs 3α)＋eq \f(1,2)cs 2α(－sin αsin 3α＋cs αcs 3α)
＝eq \f(1,2)cs(α－3α)＋eq \f(1,2)cs 2αcs(3α＋α)
＝eq \f(1,2)cs 2α＋eq \f(1,2)cs 2αcs 4α
＝eq \f(1,2)cs 2α(1＋cs 4α)
＝eq \f(1,2)cs 2α·2cs22α＝cs32α＝右边．
21．(12分)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(\r(3),4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)<α<\f(2π,3)))，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))的值．
解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，
所以2·eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
由－eq \f(π,2)≤φ所以φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6).
(2)由(1)得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(α,2)－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,4).
由eq \f(π,6)<α所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4).
因此cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝sin α
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)＋\r(15),8).
22．(12分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值．
解 对于题干图①，MN＝20sin θ，ON＝20cs θ，
所以S1＝ON·MN＝400sin θcs θ＝200sin 2θ.
所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，S1max＝200 cm2.
对于题干图②，MQ＝40sin(60°－α)，
MN＝20cs(60°－α)－eq \f(20sin60°－α,tan 60°)＝eq \f(40\r(3),3)sin α，
所以S2＝eq \f(800\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs2α－60°－\f(1,2))).
因为0°<α<60°，
所以－60°<2α－60°<60°.
所以当cs(2α－60°)＝1，即2α－60°＝0，
即α＝30°时，S2max＝eq \f(400\r(3),3) cm2.
因为eq \f(400\r(3),3)>200，
所以用图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大，为eq \f(400\r(3),3) cm2.