第五章 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（课件PPT）

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5.4三角函数的图象和性质第五章5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质学习目标1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性、最值等）.2.运用整体代换的思想，令ωx+φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的性质研究函数y＝sin（ωx+φ），y＝cos（ωx+φ）的性质.核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模新知学习正弦函数、余弦函数的性质【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位 长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的 变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自 变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学 上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？  【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]  正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一 个 都有 ，且 .那么函数 就叫做 周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.      周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函数的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.   根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】①对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中 “每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期.    ②自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周 期，因为 ，所以 才是最小正周期.    ③周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是 函数 的周期.   ④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小 正周期. 正弦函数、余弦函数的性质【例1】求下列函数的周期：  【解】   奇偶性【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线 关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称， 只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0) 对称.③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.    即时巩固【2】求下列函数的周期     【注意】本题也可以直接用公式求解：  即时巩固【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？【解】(1)奇函数 (2)偶函数(3)奇函数(4)奇函数即时巩固探究与发现     探究与发现    单调性【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.  如图可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升， 的值由1减小到-1. 的值变化情况如图所示：                                 这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.   单调性 正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.  由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：单调性 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1. 同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：          最大值与最小值【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：①正弦函数当且仅当 时取得最大值1， 当且仅当 时取得最小值-1；  ②余弦函数当且仅当 时取得最大值1， 当且仅当 时取得最小值-1；  【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数      【正弦函数和余弦函数的性质对比】随堂小测1.(2021·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关解析　因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；＝±sin ωx，为奇函数.所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关.A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数∴f(x)＝－cos 2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.±π4.函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.(－π，0]解析　因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π0，x∈R)的周期T＝ .2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法4.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.5.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.谢 谢！