第五章+三角函数+章末测试高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

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章末测试 第五章 三角函数第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023上·黑龙江鸡西·高一校考期末）函数是（    ）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数【答案】D【分析】根据正弦型函数的周期公式和奇函数的定义即得.【详解】由知其最小正周期为，函数的定义域为，由知函数是奇函数.故选：D.2．（2023下·北京密云·高一统考期末）（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解.【详解】.故选：A.3．（2022上·四川遂宁·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.【详解】,所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，故选:D.4．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（    ）A．在上单调递增，在上单调递减B．在上单调递增，在上单调递减C．在及上单调递增，在上单调递减D．在上单调递增，在及上单调递减【答案】C【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.【详解】解：，当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增．故只有C正确．故选：5．（2022上·四川遂宁·高一校考期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.【详解】从可得，，所以，因为，故选：A.6．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用换元法，结合正切函数的和差公式即可得解.【详解】令，则，，则.故选：D．7．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）若，则（    ）A．或1 B．或-1 C． D．-1【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，或-1，当时，，分母为0不合题意，故舍．故选：C8．（2019下·福建·高二校联考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，因为是奇函数，所以 ，，且的周期为，且，，，，求的零点，即是与的交点，如图： 为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.13．（2022上·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为 .【答案】9【分析】先利用弧度制公式求得半径，再利用扇形面积公式求解.【详解】解：已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其半径为，所以其面积为，故答案为：914．（2021上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）若，则的值为 【答案】2【分析】利用同角三角函数关系式进行化简，然后代入即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：2.15．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）  【答案】④【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得.【详解】当时，，此时；当时，，此时.综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确.故答案为：④16．（2023上·新疆·高一校联考期末）已知函数且有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．【答案】【分析】根据给定条件，按，结合指数函数的性质分类讨论，再利用正弦函数性质列式计算作答.【详解】当时，当时，，此时没有零点，因此在上有且仅有2个零点，由，得，于是，解得，当时，当时，，在上恰有一个零点，因此在上有且仅有1个零点，于是，解得，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知是锐角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；（2）根据题意，由二倍角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由，，可得，所以；（2）因为，且，∴．18．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：由，可得，然后利用二倍角公式可得，从而可求出的值；方法二：由，得，再利用同角三角函数的关系和二倍角公式可求得结果，（2）利用余弦的二倍角公式化简变形可求得结果【详解】（1）方法一：由于，可得，则， ，整理得解得（舍去），或. 方法二：因为，所以，所以；（2）.19．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知函数的图象如图所示.(1)求的解析式；(2)若，求的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)(2)，单调递增区间为，【分析】（1）由图象求得及周期，再由周期公式求得，即可得到解析式；（2）利用三角恒等变换公式将化简，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）由图象可知，，即，又，所以，解得，；（2）因为，所以，所以的最小正周期，令，，解得，， 的单调递增区间为，．20．（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；(2)当时，求不等式的解集.(3)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)单调递增区间为；最小正周期为(2)(3)最大值为1，最小值为.【分析】（1）整体法求出函数单调递增区间，进而利用求出最小正周期；（2）时，，数形结合解不等式，求出解集；（3）整体法求解函数最值.【详解】（1）令，解得，故函数的单调递增区间为，最小正周期为；（2）时，，，故，解得；（3）时，，由于在上单调递增，在上单调递减，故当，即时，取得最大值，最大值为1，当，即时，取得最小值，最小值为，故在区间上的最大值为1，最小值为.21．（2023下·辽宁鞍山·高一校考期末）已知函数的部分图象如图所示.  (1)求函数的解析式；(2)若对，使得关于x的不等式恒成立，求实数m的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）结合图像，由最大最小值可得，由可得，由函数图像经过点可求，从而可得答案.（2）原不等式等价于, 使得成立，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案.【详解】（1）由所给函数图像可知，，，即，所以，又图像过点，所以，，解得，，   因为，所以当时，，故.（2）若对于，关于x的不等式恒成立，即对于，关于x的不等式恒成立，即对于，恒成立.当时，，令时，为减函数，所以当时，取得最小值为，即的最小值为，故实数，所以m的最大值为.22．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数.(1)若，求的值域；(2)最小值为，若，求及此时的最大值.【答案】(1)(2)，5【分析】（1）代入，对进行配方化简，由的范围，进而得到的值域.（2）对进行配方化简，对的取值进行讨论，求最小值，由求出，进而求出此时的最大值.【详解】（1）若，则，即，因为，所以，则，所以的值域为.（2），因为，所以：若，即，，若，即，，若，即，由题若，则时，，无解；时，，无解；时，，即，解得或舍去；综上：，此时，，所以的最大值为.