人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试导学案及答案，共3页。学案主要包含了y＝Asin＋B型的最值问题，可化为y＝f型的值域问题，函数图象平移距离的最小值，ω的最值等内容，欢迎下载使用。

一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
例1 (1)函数f(x)＝3sin x＋4cs x，x∈[0，π]的值域为________．
答案 [－4,5]
解析 f(x)＝3sin x＋4cs x＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cs x))
＝5sin(x＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，0<φ∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ.
∴当x＋φ＝eq \f(π,2)时，f(x)max＝5；
当x＋φ＝π＋φ时，
f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.
∴f(x)的值域为[－4,5]．
(2)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))，则当x＝________时，f(x)取得最小值，且最小值为________．
答案 －eq \f(π,12) －3
解析 ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))，
∴－eq \f(2,3)π≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)，
由正弦函数图象(图略)知，
当2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，
即x＝－eq \f(π,12)时，f(x)min＝－3.
反思感悟 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．
二、可化为y＝f(sin x)型的值域问题
例2 函数y＝cs 2x＋2sin x的最大值为( )
A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 C
解析 y＝cs 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.
设t＝sin x，则－1≤t≤1，
所以原函数可以化为
y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(3,2)，
所以当t＝eq \f(1,2)时，函数y取得最大值为eq \f(3,2).故选C.
反思感悟 可化为y＝f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域．
三、含sin x±cs x，sin xcs x的最值问题
例3 求函数y＝sin x＋cs x＋sin xcs x的值域．
解 令t＝sin x＋cs x，则有
t2＝1＋2sin xcs x，即sin xcs x＝eq \f(t2－1,2).
∴y＝f(t)＝t＋eq \f(t2－1,2)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
∴－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
故y＝f(t)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))．
从而知f(－1)≤y≤f(eq \r(2))，即－1≤y≤eq \r(2)＋eq \f(1,2).
故函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\r(2)＋\f(1,2))).
反思感悟 通常采用换元的方法，令sin x±cs x＝t，将sin xcs x转化为关于t的解析式，利用二次函数求最值，但要注意换元后变量的取值范围．
四、函数图象平移距离的最小值
例4 将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为( )
A.eq \f(π,16) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4)
答案 D
解析 伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为eq \f(π,4).故选D.
反思感悟 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．
五、ω的最值
例5 已知函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1，当φ＝eq \f(π,4)ω时f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，－\f(3π,16)))上单调递增，求ω的最大值和最小值之和．
解 函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝±eq \r(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1.
当eq \f(π,2)－eq \f(3,8)π＝eq \f(T,8)时，T取最大值．此时ω最小，ωmin＝2.
当φ＝eq \f(π,4)ω时，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)ω))＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
函数f(x)＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,16)))上单调递增，
故只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)ω≥－\f(π,2)，,\f(π,16)ω≤\f(π,2)，))即ω≤4.
综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.
反思感悟 根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围．