第五章 -5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课件PPT）

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5.5三角恒等变换第五章5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算新知学习两角差的余弦公式【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？【分析】如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ， 以 轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的 终边分别与单位圆相交于点              连接 ， .若把扇形 绕着点 旋转β角，则点A、P分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而 = ，所以 =               α终边β终边α-β终边 根据两点间距离公式，得到等式：  化简得 两角差的余弦公式【探究】由此我们得到了当 时，容易证明上式依然成立.所以，对于任意角α，β，都有       α终边β终边α-β终边    此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，记为  由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出 的值.    另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如： 【例1】利用公式 证明【证明】     即时巩固【例2】已知 β是第三象限角，求 的值.【解】由 ，得    又由 ，β是第三象限角，得  所以 即时巩固两角和的余弦公式【推导】我们以 为基础，推导出其他公式.    这样就可以得到两角和的余弦公式，即 也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.与两角差的余弦公式相比较下 余余正正符号相反两角和与差的正弦公式【1】由诱导公式五： ，可得：           两角和与差的正弦公式【2】由诱导公式六： ，可得：           即    正余余正符号相同两角和与差的正切公式根据推导经验，有 在上式中，用-β替换β，得到 即    分子同相加，1减他们俩分子同相减，1加他们俩 式中的α、β、α+β可以是任意值吗？六个公式之间的关系和推导【和角公式】  【差角公式】   以-β替换β 以-β替换β  作 商作 商以-β替换β当α=β时，有：  【例3】已知 α是第四象限角，求 的值.【解】由 α是第四象限角，得    则    即时巩固【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.【解】(1)由公式S(α+β)，得    (2)由公式C(α+β)，得 (3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得 即时巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式  当α=β时， 当α=β时，  当α=β时， 这样我们就得到了二倍角公式：   在 中，结合公式 ，得到    【例5】已知 ，求 的值.【解】由 ，得     【例6】已知 ，求 的值.  【解】由 ，即  化简得  所以即时巩固随堂小测课堂小结1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.3.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.谢 谢！