人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案，共20页。
2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．显然，i是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
函数y＝－sin 2x-π4的初相是－π4吗？
[提示] 不是．因为函数y＝－sin 2x-π4＝ sin 2x+3π4，故其初相是 3π4．
1．函数y＝3sin 12x-π6的频率为________，相位为________，初相为________．
14π 12x－π6 －π6 [频率为122π＝14π，相位为12x－π6，初相为－π6．]
2．某人的血压满足函数式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵f (t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝2πω＝2π160π＝180，f ＝1T＝80，
∴此人每分钟心跳的次数为80．]
类型1 三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为：h＝3sin 2t+π4．
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
[解] (1)令t＝0，得h＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322 cm处．
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s．
当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8 s．
(3)T＝2π2＝π，即经过π s小球往返振动一次．
(4)f ＝1T＝1π，即每秒内小球往返振动1π次．
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝7120 s时的电流为______(A)．
0 [由函数的图象可得A＝100，且2πω×12＝3300＝1100，故ω＝100π，而I1300＝100，故100π300＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝π6＋2kπ，k∈Z，故I(t)＝100sin 100πt+π6，故I7120＝100sin 100π×7120+π6＝0(A)．]
类型2 三角函数模型的实际应用
【例2】 (源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
思路导引：建系模型 圆周运动 设y＝A sin (ωt＋φ)题设信息 确定A，ω，φ 解决问题．
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．
设角φ-π20，T＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π．]
3．已知简谐运动f (x)＝2sin π3x+φφ