数学第五章 三角函数本章综合与测试学案设计

这是一份数学第五章 三角函数本章综合与测试学案设计，共8页。学案主要包含了三角函数式的化简，三角函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。


一、三角函数式的化简、求值
1．(1)两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sin α,cs α)＝tan α；
(2)诱导公式：可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限；
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式．
2．化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号．
3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．
4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则eq \f(sin 4α,1＋cs2α)的值为________．
答案 －eq \f(4\r(2),15)
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,6)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝eq \f(1,3)，即cs 2α＝eq \f(1,3).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－eq \r(1－cs22α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴eq \f(sin 4α,1＋cs2α)＝eq \f(2sin 2α·cs 2α,1＋\f(1＋cs 2α,2))
＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq \f(4\r(2),15).
反思感悟 三角函数式的求值、化简的策略
(1)化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时，往往把切化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称统一为正切，再化简．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式．
三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字．当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”．
跟踪训练1 已知eq \f(3π,2)<α<2π，化简 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2α))
的结果为( )
A．sin eq \f(α,2) B．－sin eq \f(α,2)
C．cs eq \f(α,2) D．－cs eq \f(α,2)
答案 D
解析 ∵eq \f(3π,2)<α<2π，∴eq \f(3π,4)∴ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2α))＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cs2α))
＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cs α|)＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs α)
＝eq \r(cs2\f(α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2).
故选D.
二、三角函数的图象与性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换．
3．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养．
例2 已知函数f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))cs ωx在x＝eq \f(π,4)处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,36)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝eq \f(4,3)－eq \r(2)，求cs α的值．
解 (1)f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))cs ωx
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin ωx－\f(\r(2),2)cs ωx))cs ωx
＝2eq \r(2)sin ωxcs ωx－2eq \r(2)cs2ωx
＝eq \r(2)sin 2ωx－eq \r(2)cs 2ωx－eq \r(2)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,4)))－eq \r(2).
∵函数f(x)在x＝eq \f(π,4)处取得最值，
∴2ω×eq \f(π,4)－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
解得ω＝2k＋eq \f(3,2)，k∈Z.
又ω∈(0,2)，∴ω＝eq \f(3,2).
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))－eq \r(2).∴最小正周期T＝eq \f(2π,3).
(2)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,36)个单位长度，得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,36)))－\f(π,4)))－eq \r(2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))－eq \r(2)的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－eq \r(2)的图象，
即g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－eq \r(2).
∵α为锐角，g(α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－eq \r(2)＝eq \f(4,3)－eq \r(2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(2,3).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))＝eq \f(\r(5),3).
∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(5),3)－eq \f(1,2)×eq \f(2,3)
＝eq \f(\r(15)－2,6).
(学生留)
反思感悟 三角函数的三条性质
(1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cs x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．
(2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|).
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋B的形式．
跟踪训练2 把函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值．
解 依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ω,2)x＋φ))，
则函数g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ωx,2)＋\f(ωπ,12)＋φ)).
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)＋φ)).
又因为函数g(x)为奇函数，所以φ＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
又0<φ<π，则φ＝eq \f(π,3).
三、三角恒等变换与三角函数的综合问题
1．三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acs(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
2．通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养．
例3 已知函数f(x)＝cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),4)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,2)sin x·cs x－eq \f(\r(3),2)cs2x＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)(1＋cs 2x)＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)cs 2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，
∴－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)，
∴－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \f(1,2)，
∴－eq \f(1,2)≤f(x)≤eq \f(1,4)，
∴函数f(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(1,4)，最小值为－eq \f(1,2).
反思感悟 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；
(2)将f(x)的图象上所有点向左平移m(m>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．
解 (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝cs eq \f(π,6)cs eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4).
(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
将y＝f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，
得到y＝g(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2m)).
∵y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)＋2m))＝0，
∴eq \f(2π,3)＋2m＝kπ，k∈Z，∴m＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,3)，k∈Z，
∵m>0，∴当k＝1时，m有最小值eq \f(π,6).
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(2π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,12)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.
∴函数g(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,12)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.
1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α等于( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(7,9)
C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
答案 B
解析 ∵sin α＝eq \f(1,3)，∴cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(7,9).
2．(2016·全国Ⅲ)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α等于( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25) C．1 D.eq \f(16,25)
答案 A
解析 tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋2sin 2α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α)＝eq \f(64,25).
3．(2016·全国Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z) B．x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)
C．x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z) D．x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)
答案 B
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)得函数的对称轴为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．
4．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
答案 D
解析 因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
5．(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
解析 A中，函数f(x)＝|cs 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cs|x|＝cs x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．