高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式当堂检测题，共4页。

1.已知α为锐角，sin (π－α)＝eq \f(2,3)，则csα＝( )
A．eq \f(1,3)B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(5),3)D．－eq \f(\r(5),3)
2．在△ABC中，若csB＝sin (90°－C)＝eq \f(1,2)，则△ABC是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cs (eq \f(π,2)－θ)＝( )
A．±eq \f(\r(5),5)B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．±eq \f(2\r(5),5)
4．若sin (－110°)＝a，则tan70°＝( )
A．eq \f(a,\r(1－a2))B．－eq \f(a,\r(1－a2))
C．eq \f(a,\r(1＋a2))D．－eq \f(a,\r(1＋a2))
5．(多选)下列各式的值等于1的有( )
A．sin2(－x－1)＋cs2(x＋1)
B．sin(－eq \f(5π,2))
C．cs (－5π)
D．eq \f(cs（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)
6．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5))，以下说法正确的是( )
A．tanα＝－eq \f(4,3)
B．sinα＝－eq \f(4,5)
C．sin (α－eq \f(π,2))＝－eq \f(3,5)
D．cs (α＋eq \f(3π,2))·cs (π－α)＝－eq \f(12,25)
7．在△ABC中，cs (B＋C)＝eq \f(2,3)，则sinA＝________．
8．已知函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，若f(eq \f(π,3))＝－1，f(－eq \f(π,3))＝________．
9．已知α为第三象限角，且sinα＝－eq \f(3,5).
(1)求tanα的值；
(2)求eq \f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cs（π－α）＋sinα)的值．
10．在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为eq \f(4,5).
(1)求sinα＋csα和tanα的值；
(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转eq \f(π,2)，得到角β，求eq \f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cs（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）).
11.已知sin (π－α)＋sin (α－eq \f(π,2))＝eq \f(1,2)，则eq \f(cs（\f(3π,2)＋α）,1＋tan（－α）)的值为( )
A．－eq \f(3,4)B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,16)D．eq \f(3,16)
12．在△ABC中，sin (eq \f(π,2)＋A)＋sin (2π＋A)＝eq \f(7,13)，则tanA＝( )
A．－eq \f(12,5)B．eq \f(12,5)
C．－eq \f(5,12)D．eq \f(5,12)
13．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq \f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sinα＝eq \f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A.sinβ＝eq \f(\r(15),4)B．cs (π＋β)＝eq \f(1,4)
C．tanβ＝eq \f(\r(15),5)D．tanβ＝eq \f(\r(15),15)
14．(多选)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为点(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2)).则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A．(cseq \f(2π,9)，sineq \f(2π,9))
B．(－cseq \f(5π,9)，－sineq \f(5π,9))
C．(cseq \f(π,9)，－sineq \f(π,9))
D．(－cseq \f(π,9)，sineq \f(π,9))
15.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
16．已知f(α)＝eq \f(sin（2π＋α）cs（π－α）cs（\f(π,2)－α）,cs（π＋α）cs（\f(3π,2)＋α）)＋cs (2π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(\r(10),5)，求eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα)的值．
课时作业53
1．解析：因为sin (π－α)＝eq \f(2,3)，所以sinα＝eq \f(2,3)，
又α为锐角，所以csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),3).故选C.
答案：C
2．解析：因为在△ABC中，csB＝sin (90°－C)＝eq \f(1,2)，也即csB＝csC＝eq \f(1,2)，
因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B＝C＝eq \f(π,3)，则△ABC为等边三角形．故选B.
答案：B
3．解析：角θ终边在直线y＝2x上，则角θ为第一象限角或者第三象限角，tanθ＝2，
根据tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)
sin2θ＋cs2θ＝1，得sinθ＝±eq \f(2\r(5),5)，cs (eq \f(π,2)－θ)＝sinθ＝±eq \f(2\r(5),5).故选D.
答案：D
4．解析：∵sin (－110°)＝－sin110°＝－sin (180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，
∴cs70°＝eq \r(1－（－a）2)＝eq \r(1－a2)，
∴tan70°＝eq \f(sin70°,cs70°)＝－eq \f(a,\r(1－a2)).故选B.
答案：B
5．解析：对于A，sin2(－x－1)＋cs2(x＋1)＝sin2(x＋1)＋cs2(x＋1)＝1，故A正确，对于B，sin(－eq \f(5π,2))＝sin (－eq \f(5π,2)＋2π)＝sin (－eq \f(π,2))＝－sin (eq \f(π,2))＝－1，故B错误，对于C，cs (－5π)＝cs5π＝csπ＝－1，故C错误，对于D，eq \f(cs（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)＝eq \f(－sinα,sin（π＋α）)＝eq \f(－sinα,－sinα)＝1，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：因为角α的终边过点P(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5))，所以sinα＝－eq \f(4,5)，csα＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(4,3)，故A错误，B正确；
对于C，sin (α－eq \f(π,2))＝－csα＝eq \f(3,5)，故C错误；
对于D，cs (α＋eq \f(3π,2))·cs (π－α)＝sinα·(－csα)＝－eq \f(12,25)，故D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：在△ABC中，cs (B＋C)＝cs (π－A)＝eq \f(2,3)，
所以csA＝－eq \f(2,3)，则sinA＝eq \f(\r(5),3).
答案：eq \f(\r(5),3)
8．解析：因为函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，
所以f(eq \f(π,3))＝taneq \f(π,3)－ksineq \f(π,3)＋2＝－1，
即taneq \f(π,3)－ksineq \f(π,3)＝－3，
所以f(－eq \f(π,3))＝tan (－eq \f(π,3))－ksin (－eq \f(π,3))＋2
＝－taneq \f(π,3)＋ksineq \f(π,3)＋2＝5.
答案：5
9．解析：(1)因为α为第三象限角，且sinα＝－eq \f(3,5)，
所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)；tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(3,4).
(2)eq \f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cs（π－α）＋sinα)
＝eq \f(sinα＋csα,－csα＋sinα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)，
由(1)得tanα＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cs（π－α）＋sinα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝－7.
10．解析：(1)由三角函数的定义可得sinα＝eq \f(4,5)，
又因为α为第二象限角，则csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，
所以sinα＋csα＝eq \f(1,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(4,3).
(2)由题知β＝α＋eq \f(π,2)，则sinβ＝sin (α＋eq \f(π,2))＝csα
＝－eq \f(3,5)，csβ＝cs (α＋eq \f(π,2))＝－sinα＝－eq \f(4,5)，
则eq \f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cs（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）)＝eq \f(（－sinβ）tanα,－csβ＋csα)＝eq \f(\f(3,5)×（－\f(4,3)）,\f(4,5)－\f(3,5))＝－4．
11．解析：由已知得sinα－csα＝eq \f(1,2)，两边平方得1－2sinαcsα＝eq \f(1,4)，解得sinαcsα＝eq \f(3,8)，
则原式＝eq \f(sinα,1－tanα)＝eq \f(sinα,1－\f(sinα,csα))＝eq \f(sinαcsα,csα－sinα)＝－eq \f(3,4)．故选A.
答案：A
12．解析：在△ABC中，sin (eq \f(π,2)＋A)＋sin (2π＋A)＝sinA＋csA＝eq \f(7,13)，
平方得1＋2sinAcsA＝eq \f(49,169)，2sinAcsA＝－eq \f(120,169)，
因为A为三角形的一个内角，所以sinA>0，csA<0，
所以sinA－csA>0，(sinA－csA)2＝1－2sinAcsA＝eq \f(289,169)，
所以sinA－csA＝eq \f(17,13)，结合sinA＋csA＝eq \f(7,13)，可得sinA＝eq \f(12,13)，csA＝－eq \f(5,13)，所以tanA＝eq \f(sinA,csA)＝－eq \f(12,5).故选A.
答案：A
13．解析：若α＋β＝eq \f(π,2)，则β＝eq \f(π,2)－α，所以sinβ＝sin (eq \f(π,2)－α)＝csα＝±eq \f(\r(15),4)，故选项A符合条件；cs (π＋β)＝－cs (eq \f(π,2)－α)＝－sinα＝－eq \f(1,4)，故选项B不符合条件；tanβ＝eq \f(\r(15),5)，即sinβ＝eq \f(\r(15),5)csβ，又sin2β＋cs2β＝1，∴sinβ＝±eq \f(\r(6),4)，故选项C不符合条件；
tanβ＝eq \f(\r(15),15)，即eq \r(15)sinβ＝csβ，又sin2β＋cs2β＝1，
∴sinβ＝±eq \f(1,4)，故选项D不符合条件．故选A.
答案：A
14．解析：点Q的初始位置Q1的坐标为(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2))，锐角∠Q1Ox＝eq \f(π,3)，
设t时刻两点重合，则5t－2t＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈N)，即t＝eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)(k∈N)，此时点Q(cs (－eq \f(π,3)＋5t)，sin (－eq \f(π,3)＋5t))，
即Q(cs (eq \f(2π,9)＋eq \f(10kπ,3))，sin (eq \f(2π,9)＋eq \f(10kπ,3)))(k∈N)，
当k＝0时，Q(cseq \f(2π,9)，sineq \f(2π,9))，故A正确；
当k＝1时，Q(cseq \f(32π,9)，sineq \f(32π,9))，即Q(－cseq \f(5π,9)，－sineq \f(5π,9))，故B正确；
当k＝2时，Q(cseq \f(62π,9)，sineq \f(62π,9))，即Q(－cseq \f(π,9)，sineq \f(π,9))，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
因为sin21°＝cs289°，sin22°＝cs288°，sin23°＝cs287°，…，sin289°＝cs21°，
所以S＝cs289°＋cs288°＋cs287°＋…＋cs21°，
两式相加得：2S＝1×89，
所以S＝44.5.
答案：44.5
16．解析：(1)f(α)＝eq \f(sinα（－csα）sinα,－csαsinα)＋csα＝sinα＋csα.
(2)因为f(α)＝eq \f(\r(10),5)，所以sinα＋csα＝eq \f(\r(10),5)，
两边平方得(sinα＋csα)2＝eq \f(2,5)，所以sin2α＋cs2α＋2sinαcsα＝eq \f(2,5)，
所以1＋2sinαcsα＝eq \f(2,5)，所以sinαcsα＝－eq \f(3,10)，
所以eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα)＝eq \f(csα＋sinα,sinαcsα)＝eq \f(\f(\r(10),5),－\f(3,10))＝－eq \f(2\r(10),3).
基础强化
能力提升