人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式学案及答案

§5.3　诱导公式(一)

学习目标　1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．

知识点　公式二～四

思考　诱导公式中角α只能是锐角吗？

答案　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.

1．若sin(π＋α)＝，则sin α＝        .

答案　－

解析　sin(π＋α)＝－sin α＝，

∴sin α＝－.

2．若cos(π－α)＝，则cos α＝        .

答案　－

解析　∵cos(π－α)＝－cos α＝，

∴cos α＝－.

3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝        .

答案　－6

4．sin 585°＝        .

答案　－

解析　sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)

＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.

一、给角求值

例1　求下列三角函数值：

(1)cos(－480°)＋sin 210°；

(2)sin·cos ·tan .

解　(1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)

＝cos(360°＋120°)－sin 30°

＝cos 120°－

＝cos(180°－60°)－

＝－cos 60°－＝－－＝－1.

(2)原式＝sin·cos·tan

＝sin·cos·tan

＝sin·cos·tan

＝－sin·cos·tan

＝－××＝－.

(学生)

反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”——用公式一或三来转化．

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．

跟踪训练1　sin ＋tan －cos＝        .

答案　0

解析　原式＝sin＋tan－cos

＝sin ＋tan－cos

＝sin －tan ＋cos 

＝－1＋＝0.

二、给值(式)求值

例2　(1)(多选)已知cos(π－α)＝－，则sin(－2π－α)的值是(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　AB

解析　因为cos(π－α)＝－cos α＝－，

所以cos α＝，

所以α为第一或第四象限角，

所以sin α＝±＝±，

所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝±.

(2)已知cos＝，则cos＝        .

答案　－

解析　cos

＝cos

＝－cos＝－.

延伸探究

1．若本例(2)中的条件不变，如何求cos？

解　cos＝cos

＝cos

＝cos＝.

(教师)

2．若本例(2)条件不变，求cos－sin2

的值．

解　因为cos＝cos

＝－cos＝－，

sin2＝sin2

＝1－cos2

＝1－2＝，

所以cos－sin2＝－－

＝－.

反思感悟　解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

跟踪训练2　(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)

A．－  B.  C．±  D.

答案　B

解析　由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，

而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，

所以cos α＝＝.

(2)已知sin＝－，且θ∈，则cos＝        .

答案　－

解析　cos＝cos

＝－cos，

∵θ∈，∴θ－∈，

∴cos>0，

即cos＝＝，

∴原式＝－.

三、化简求值

例3　化简：(1)；

(2).

解　(1)＝

＝＝＝1.

(2)原式＝

＝＝＝－1.

反思感悟　三角函数式化简的常用方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．

(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．

(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .

跟踪训练3　tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)

A.  B.  C．－1  D．1

答案　A

解析　因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，

所以原式＝＝＝＝＝.

1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)

A．－   B．－

C.   D.

答案　C

2．sin 780°＋tan 240°的值是(　　)

A.   B.

C.＋   D．－＋

答案　A

解析　sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°)

＝＋tan 60°＝＋＝.

3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)

A.  B．－  C．±  D.

答案　B

解析　因为sin(π＋α)＝－sin α＝，

所以sin α＝－.

又α是第四象限角，

所以cos α＝，

所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.

4．化简：·tan(2π－α)＝        .

答案　－1

解析　原式＝·tan(－α)

＝·(－tan α)

＝－·tan α

＝－1.

5.的值等于        ．

答案　－2

解析　原式＝

＝

＝＝＝－2.

1．知识清单：

(1)特殊关系角的终边对称性．

(2)诱导公式二～四．

2．方法归纳：公式法、角的构造．

3．常见误区：符号的确定．

1．sin 240°＋cos(－150°)的值为(　　)

A．－  B．－1  C．1  D.

答案　A

解析　原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150°

＝－sin 60°＋cos(180°－30°)

＝－sin 60°－cos 30°

＝－－＝－.

2．(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 020π)的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　AB

解析　sin(π－α)＝，∴sin α＝，

cos(α－2 020π)＝cos α＝±＝±.

3．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　)

A．cos C   B．－cos C

C．sin C   D．－sin C

答案　B

解析　由于A＋B＋C＝π，

所以A＋B＝π－C.

所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.

4．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　)

A．4  B．±4  C．－4  D.

答案　C

解析　由题意，得tan 600°＝，

则a＝－4·tan 600°＝－4tan(180°＋60°)

＝－4tan 60°＝－4.

5．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　方法一　因为cos(508°－α)

＝cos(360°＋148°－α)

＝cos(148°－α)＝，

所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)

＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.

方法二　cos(212°＋α)＝cos[720°－(508°－α)]

＝cos(508°－α)＝.

6．计算：sincos＝        .

答案　

解析　原式＝－sincos

＝－sin·

＝sin ·cos ＝.

7．已知sin(－π－α)＝，且α为第二象限角，则＝        .

答案　－

解析　∵sin(－π－α)＝，

∴－sin(π＋α)＝，

∴sin α＝，

∵α为第二象限角，∴cos α＝－，

＝＝cos α＝－.

8．已知sin＝，则sin＝        ，cos·cos＝        .

答案　－　

解析　sin＝sin

＝－sin＝－，

cos·cos

＝cos·cos

＝cos2

＝1－sin2＝.

9．化简：(1)；

(2).

解　(1)

＝

＝＝－cos2α.

(2)

＝＝－cos α.

10．已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

解　(1)f(α)＝－＝－cos α.

(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，

∴sin α＝－.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－，∴f(α)＝.

(3)∵－＝－6×2π＋，

∴f ＝－cos

＝－cos ＝－cos ＝－.

11．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　B

解析　∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)

＝－sin 70°＝a，

∴sin 70°＝－a，

∴cos 70°＝＝，

∴tan 70°＝＝－.

12．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是(　　)

A．－1  B．－2  C．1  D．2

答案　BD

解析　当k＝2n，n∈Z时，

A＝＋

＝＋＝2，

当k＝2n＋1，n∈Z时，

A＝＋

＝＋

＝－2.

13．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是        ．(用“>”表示)

答案　b>a>c

解析　因为a＝－tan ＝－，

b＝cos ＝cos ＝，

c＝sin＝－sin ＝－，

所以b>a>c.

14．已知f(x)＝则f ＋f 的值为        ．

答案　－2

解析　因为f ＝sin＝sin

＝sin ＝；

f ＝f －1＝f －2

＝sin－2＝－－2＝－.

所以f ＋f ＝－2.

15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 019)＝－1，则f(2 020)的值为        ．

答案　1

解析　∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)

＝－1，

∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)

＝asin[π＋(2 019π＋α)]＋bcos[π＋(2 019π＋β)]

＝－[asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)]＝1.

16．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

解　由题意得sin A＝sin B，cos A＝cos B，

平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，

又因为A∈(0，π)，所以A＝或.

当A＝时，cos B＝－<0，

所以B∈，所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．

所以A＝，cos B＝，

所以B＝，所以C＝.

综上所述，A＝，B＝，C＝.