同角三角函数的基本关系

 [A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．下列四个结论中可能成立的是(　B　)

A．sin α＝且cos α＝

B．sin α＝0且cos α＝－1

C．tan α＝1且cos α＝－1

D．α是第二象限角时，tan α＝－

【解析】 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故选项B成立，而选项A，C，D都不成立．

2．化简的结果是(　D　)

A．cos140°　　 　　B．－cos 40°

C．±cos 140°    D．－cos 140°

【解析】 ＝＝－cos140°.

3．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　C　)

A．－    B．

C．－    D．

【解析】 因为sin φ＝－，所以cos2φ＝1－sin2φ＝1－＝ .

又|φ|< ，即－ <φ< ，所以cos φ＝ ，

从而tan φ＝ ＝ ＝－ .

4．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝(　D　)

A．－    B．

C．－    D．

【解析】sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ

＝＝，

把tanθ＝2代入，原式＝＝.故选D.

5．若α∈[0，2π)，且＋＝sinα－cos α，则α的取值范围是(　B　)

A．    B．

C．    D．

【解析】 因为＋＝|sinα|＋|cos α|＝sin α－cos α，所以sin α≥0，且cos α≤0，

所以α∈.

6．下列计算或化简结果正确的是(　ABD　)

A．＝2

B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2

C．若sin α＝，则tan α＝2

D．若α为第一象限角，则＋＝2

【解析】A项正确，＝·＝2；

B项正确，tan θ＋＝＋＝＝2；

C项不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定；

D项正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.

综上，故选ABD.

7．若θ为第四象限角，则－可化简为(　D　)

A．2tan θ    B．－

C．－2tan θ    D．

【解析】 因为θ是第四象限角，所以sin θ＜0，所以－＝－＝－＝－＝.

二、填空题

8．若tan θ＝2，则＝____．

【解析】 ＝＝＝.

9．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝__0__．

【解析】 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝0，所以sin α－cos α＝0.

10．化简(1＋tan215°)·cos215°＝__1__．

【解析】(1＋tan215°)·cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.

11．若tanα＋＝3，则sin αcos α＝____．

【解析】 因为tan α＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sin αcos α＝.

三、解答题

12．在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin A cos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．

解：(1)因为sin A＋cos A＝，

两边平方得，1＋2sin A cos A＝，

所以sin A cos A＝－.

(2)由sin A cos A＝－<0，且0<A<π，

可知cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．

[B级　素养养成与评价]

13．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcos θ的值为(　A　)

A．    B．－

C．    D．－

【解析】 由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝.因为θ是第三象限角，

所以sinθ＜0，cos θ＜0，所以sin θcos θ＝.

14．在△ABC中，sin A＝，则A＝____.

【解析】 由题意知cos A>0，即A为锐角．

由sin A＝，两边平方得，2sin2A＝3cosA.

所以2cos2A＋3cosA－2＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，所以A＝.

15．求证：＝.

证明：左边

＝＝

＝＝＝＝＝右边，

所以原等式成立．

16．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，

故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，

sin θcos θ＝，

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.

(3)由

得或

又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.