高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品学案设计，共11页。

学习目标 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．





知识点一 公式五


1．角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．





2．公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.


思考 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？


答案 P2(y，x)．


知识点二 公式六


1．公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.


2．公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).


思考 如何由公式四及公式五推导公式六？


答案 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.


预习小测 自我检验


1．若cs A＝eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝ .


答案 eq \f(1,2)


2．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ .


答案 eq \f(2,3)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(2,3).


3．已知sin α＝eq \f(3,5)，α为第二象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝ .


答案 －eq \f(3,5)


4．若α＋β＝eq \f(π,2)且sin α＝eq \f(1,5)，则cs β＝ .


答案 eq \f(1,5)


解析 因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,2)－α，


所以cs β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,5).





一、化简求值


例1 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )


A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


答案 B


解析 sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)


＝－sin 59°(－tan 31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)


＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为 ．


答案 eq \f(1,2)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).


延伸探究


1．将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．


解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).


2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值．


解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，


所以eq \f(π,3)－α是第二象限角，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(\r(3),2)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(3),2).


反思感悟 解决化简求值问题的策略：


(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．


(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．


提醒：常见的互余关系有：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等；常见的互补关系有：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等．


跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值等于( )


A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


答案 D


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么cs α等于( )


A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)


答案 C


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,5).


二、证明恒等式


例2 求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).


证明 左边＝eq \f(－2cs θ·sin θ－1,cs2θ－sin2θ)＝eq \f(－sin θ＋cs θ2,cs θ－sin θcs θ＋sin θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，


右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，所以原等式成立．





反思感悟 三角恒等式的证明策略


对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．


跟踪训练2 求证：eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＋eq \f(csπ－θ,cs θ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))－1)))＝eq \f(2,sin2θ).


证明 左边＝eq \f(cs θ,－cs θcs θ＋cs θ)＋eq \f(－cs θ,cs θ－cs θ－1)


＝eq \f(1,1－cs θ)＋eq \f(1,1＋cs θ)＝eq \f(1＋cs θ＋1－cs θ,1－cs θ1＋cs θ)


＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边，


∴原等式成立．


三、诱导公式的综合应用


例3 已知cs α＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．


(1)求sin α的值；


(2)求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．


解 (1)因为α为第三象限角，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).


(2)f(α)＝eq \f(－tan α·sin α·cs α,－cs α)＝tan α·sin α＝eq \f(sin α,cs α)·sin α


＝eq \f(sin2α,cs α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝－eq \f(9,20).


延伸探究


1．本例条件不变，求f(α)＝eq \f(sin5π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))tan－π＋α,－tan－19π－αsin－α)的值．


解 f(α)＝eq \f(sin α·－sin α·tan α,tan α·－sin α)＝sin α＝－eq \f(3,5).


2．本例条件中“cs α＝－eq \f(4,5)”改为“α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(\r(15),4)))”，“第三象限”改为“第二象限”，试求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sinπ＋α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋1)的值．


解 由题意知m2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),4)))2＝1，


解得m2＝eq \f(1,16)，


因为α为第二象限角，故m<0，


所以m＝－eq \f(1,4)，


所以sin α＝eq \f(\r(15),4)，cs α＝－eq \f(1,4).


原式＝eq \f(－cs α,－sin α－－cs α＋1)＝eq \f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1)＝－eq \f(3＋\r(15),6).


反思感悟 用诱导公式化简求值的方法


(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．


(2)对于π±α和eq \f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．


跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(3,5)))，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)))的值．


解 因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(3,5)))，


所以a2＋eq \f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq \f(4,5)，


所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，


所以原式＝eq \f(cs α＋2cs α,－2sin α)＝－eq \f(3,2)·eq \f(cs α,sin α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))×eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.





1．sin 95°＋cs 175°的值为( )


A．sin 5° B．cs 5°


C．0 D．2sin 5°


答案 C


解析 原式＝cs 5°－cs 5°＝0.


2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|

A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)


答案 C


3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )


A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角


答案 B


解析 由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，


所以角θ的终边落在第二象限，故选B.


4．若cs α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,2)))＝ .


答案 eq \f(2\r(6),5)


解析 由题意得sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).


5．化简：sin(π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(π＋α)＝ .


答案 －1


解析 原式＝－sin α·sin α－cs α·cs α＝－1.





1．知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．


2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．


3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．








1．已知sin 25.3°＝a，则cs 64.7°等于( )


A．a B．－a C．a2 D.eq \r(1－a2)


答案 A


解析 cs 64.7°＝cs(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.


2．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


答案 A


解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).


3．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )


A．－eq \f(2a,3) B．－eq \f(3a,2) C.eq \f(2a,3) D.eq \f(3a,2)


答案 B


解析 由sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，


得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝eq \f(a,2).


cs(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)a.


4．如果角θ的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋cs(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( )


A．－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)


答案 B


解析 易知sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5)，tan θ＝－eq \f(4,3).


原式＝cs θ－cs θ－tan θ＝eq \f(4,3).


5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))的值是( )


A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)


答案 B


解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(3,5)，故选B.


6．已知sin α＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝ .


答案 －eq \f(3,5)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(3,5).


7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝ .


答案 eq \f(5,2)


解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°


＝(sin21°＋cs21°)＋(sin22°＋cs22°)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则eq \f(sinπ－α＋csπ＋α,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))＝ .


答案 eq \f(1,7)


解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，


所以sin α＝2cs α.


原式＝eq \f(sin α－cs α,5sin α－3cs α)＝eq \f(2cs α－cs α,10cs α－3cs α)＝eq \f(1,7).


9．已知sin(π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(2),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，求下列各式的值：


(1)sin α－cs α；


(2)sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)).


解 (1)由sin(π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(2),3)，


得sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，


两边平方整理得2sin αcs α＝－eq \f(7,9)，


又eq \f(π,2)<α<π，∴sin α>0，cs α<0，


∴sin α－cs α>0，


∴sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1＋\f(7,9))＝eq \f(4,3).


(2)sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs3α－sin3α＝(cs α－sin α)(cs2α＋cs αsin α＋sin2α)


＝－eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,18)))＝－eq \f(22,27).


10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，


求：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值．


解 ∵5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－eq \f(3,5)，


∴sin α＝－eq \f(3,5).


又∵α为第三象限角，


∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).


∴tan α＝eq \f(3,4).


∴原式＝eq \f(－cs α·－cs α·tan2α·－tan α,sin α·－sin α)＝tan α＝eq \f(3,4).





11．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于( )


A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)


考点 综合运用诱导公式化简与求值


题点 综合运用诱导公式求值


答案 C


解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2tan α＋3sin β＝－5，,tan α－6sin β＝1，))


解得tan α＝3，


又α为锐角，sin2α＋cs2α＝1，


可得sin α＝eq \f(3\r(10),10).


12．化简：eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于( )


A．－sin θ B．sin θ C．cs θ D．－cs θ


答案 A


解析 原式＝eq \f(sinθ－πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,cs θsin－θ)＝eq \f(－sin θ－sin θcs θ,cs θ－sin θ)＝－sin θ.


13．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝ .


答案 －eq \f(1,3)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(1,3).


14．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＝ ， cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(5π,6)))＝ .


答案 －eq \f(1,3) eq \f(1,3)


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))－\f(π,2)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,3).





15．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )


A．cs(A＋B)＝cs C


B．sin(A＋B)＝－sin C


C．cs eq \f(A＋C,2)＝sin B


D．sin eq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)


答案 D


解析 因为A＋B＋C＝π，


所以A＋B＝π－C，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2)，


所以cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，


sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，


cs eq \f(A＋C,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sin eq \f(B,2)，


sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2).


16．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)


＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．


解 假设存在角α，β满足条件，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β， ②))


由①2＋②2得sin2α＋3cs2α＝2.


∴cs2α＝eq \f(1,2)，


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴cs α＝eq \f(\r(2),2)，


∴α＝±eq \f(π,4).


当α＝eq \f(π,4)时，cs β＝eq \f(\r(3),2)，


∵0<β<π，∴β＝eq \f(π,6)；


当α＝－eq \f(π,4)时，cs β＝eq \f(\r(3),2)，


∵0<β<π，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．


∴存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．