人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式优秀导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式优秀导学案及答案，共11页。学案主要包含了给角求值，化简求值等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四.2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简．








知识点一 公式二


1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．





2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，


cs(π＋α)＝－cs α，


tan(π＋α)＝tan α.


知识点二 公式三


1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．





2．公式：sin(－α)＝－sin α，


cs(－α)＝cs α，


tan(－α)＝－tan α.


知识点三 公式四


1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．





2．公式：sin(π－α)＝sin α，


cs(π－α)＝－cs α，


tan(π－α)＝－tan α.


思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？


答案 诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.


预习小测 自我检验


1．若sin(π＋α)＝eq \f(1,3)，则sin α＝ .


答案 －eq \f(1,3)


解析 sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(1,3)，


∴sin α＝－eq \f(1,3).


2．若cs(π－α)＝eq \f(1,3)，则cs α＝ .


答案 －eq \f(1,3)


解析 ∵cs(π－α)＝－cs α＝eq \f(1,3)，


∴cs α＝－eq \f(1,3).


3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝ .


答案 －6


4．sin 585°＝ .


答案 －eq \f(\r(2),2)


解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)


＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).





一、给角求值


例1 求值：


(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,6)π))；


(2)sin 1 320°.


解 (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,6)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(5π,6)))＝cs eq \f(5π,6)


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).


(2)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°


＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).


反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤


(1)“负化正”：用公式一或三来转化；


(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角；


(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；


(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．


跟踪训练1 sin eq \f(5π,6)＋tan eq \f(7π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝ .


答案 0


解析 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,4)))－cs eq \f(2π,3)


＝sin eq \f(π,6)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))


＝sin eq \f(π,6)－tan eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)－1＋eq \f(1,2)＝0.


二、给值(式)求值


例2 (1)已知cs(π－α)＝－eq \f(3,5)，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )


A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)


答案 B


解析 因为cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(3,5)，


所以cs α＝eq \f(3,5)，


因为α是第一象限角，所以sin α>0，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5).


所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－eq \f(4,5).


(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝ .


答案 －eq \f(\r(3),3)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).


延伸探究


1．若本例(2)中的条件不变，如何求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))？


解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3).


2．若本例(2)条件不变，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．


解 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，


sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))


＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(2,3)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)


＝－eq \f(2＋\r(3),3).


反思感悟 解决条件求值问题的策略


(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．


(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．


跟踪训练2 若P(－4,3)是角α终边上一点，则eq \f(csα－3π·tanα－2π,sin2π－α)的值为 ．


答案 －eq \f(5,3)


解析 由已知得sin α＝eq \f(3,5)，


原式＝eq \f(－cs αtan α,sin2α)＝eq \f(－cs α\f(sin α,cs α),sin2α)＝－eq \f(1,sin α)＝－eq \f(5,3).


三、化简求值


例3 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)；


(2)eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°).


解 (1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)


＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.


(2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·cs3×360°－α,cs180°＋α·[－sin180°＋α])


＝eq \f(sin α·cs－α,－cs α·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.


反思感悟 三角函数式化简的常用方法


(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．


(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．


(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4).


跟踪训练3 化简下列各式：


(1)eq \f(csπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cs－π－α)；


(2)eq \f(cs 190°·sin－210°,cs－350°·tan－585°).


解 (1)原式＝eq \f(－cs α·sin α,－sinπ＋α·csπ＋α)


＝eq \f(cs αsin α,sin α·cs α)＝1.


(2)原式＝eq \f(cs180°＋10°[－sin180°＋30°],cs－360°＋10°[－tan360°＋225°])


＝eq \f(－cs 10°·sin 30°,cs 10°·[－tan180°＋45°])＝eq \f(－\f(1,2),－tan 45°)＝eq \f(1,2).





1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，则cs(π－θ)的值为( )





A．－eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)


C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)


答案 C


2．tan 300°＋sin 450°的值是( )


A．－1＋eq \r(3) B．1＋eq \r(3)


C．－1－eq \r(3) D．1－eq \r(3)


答案 D


解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)


＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－eq \r(3)＋1.


3．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α－π)的值是( )


A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)


答案 B


解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(3,5)，


所以sin α＝－eq \f(3,5).


又α是第四象限角，


所以cs α＝eq \f(4,5)，


所以cs(α－π)＝cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(4,5).


4.eq \f(cs－585°,sin 495°＋sin－570°)的值等于 ．


答案 eq \r(2)－2


解析 原式＝eq \f(cs360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)


＝eq \f(cs180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)


＝eq \f(－cs 45°,sin 45°－－sin 30°)＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq \r(2)－2.


5．已知cs(π＋α)＝－eq \f(3,5)，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cs(α－π)＝ .


答案 eq \f(1,5)


解析 ∵cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(3,5)，


∴cs α＝eq \f(3,5)，又∵π<α<2π，∴eq \f(3π,2)<α<2π，


∴sin α＝－eq \f(4,5).


∴sin(α－3π)＋cs(α－π)


＝－sin(3π－α)＋cs(π－α)


＝－sin(π－α)＋(－cs α)


＝－sin α－cs α＝－(sin α＋cs α)


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(1,5).





1．知识清单：


(1)特殊关系角的终边对称性；


(2)诱导公式．


2．方法归纳：函数名不变，符号看象限．


3．常见误区：符号的确定．








1．sin 225°等于( )


A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


答案 A


解析 sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).


2．已知sin(π－α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－2 019π)的值为( )


A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


答案 D


解析 sin(α－2 019π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－eq \f(1,3).


3．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )


A.eq \f(a,\r(1－a2)) B．－eq \f(a,\r(1－a2)) C.eq \f(a,\r(1＋a2)) D．－eq \f(a,\r(1＋a2))


答案 B


解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，


∴sin 70°＝－a，


∴cs 70°＝eq \r(1－－a2)＝eq \r(1－a2)，


∴tan 70°＝eq \f(sin 70°,cs 70°)＝－eq \f(a,\r(1－a2)).


4．设sin 160°＝a，则cs 340°的值是( )


A．1－a2 B.eq \r(1－a2)


C．－eq \r(1－a2) D．±eq \r(1－a2)


答案 B


解析 因为sin 160°＝a，


所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a，


而cs 340°＝cs(360°－20°)＝cs 20°＝eq \r(1－a2).


5．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))等于( )


A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3)


答案 B


解析 因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝－eq \f(1,3).


6．化简：sin(－α)cs(π＋α)tan(2π＋α)＝ .


答案 sin2α


解析 原式＝(－sin α)(－cs α)tan α


＝sin αcs αeq \f(sin α,cs α)＝sin2α.


7．求值：(1)cs eq \f(29π,6)＝ ；(2)tan(－855°)＝ .


答案 (1)－eq \f(\r(3),2) (2)1


解析 (1)cs eq \f(29π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(5π,6)))＝cs eq \f(5π,6)


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).


(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)


＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.


8．已知cs(508°－α)＝eq \f(12,13)，则cs(212°＋α)＝ .


答案 eq \f(12,13)


解析 由于cs(508°－α)＝cs(360°＋148°－α)


＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13)，


所以cs(212°＋α)＝cs(360°＋α－148°)


＝cs(α－148°)


＝cs(148°－α)


＝eq \f(12,13).


9．化简：(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)；


(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α).


解 (1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)


＝eq \f(sin180°＋α·cs α,tan α)


＝eq \f(－sin α·cs α,tan α)＝－cs2α.


(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α)＝eq \f(sin α－cs α,cs αtan α)＝－cs α.


10．已知f(α)＝eq \f(sinπ＋αcs2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).


(1)化简f(α)；


(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；


(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．


解 (1)f(α)＝－eq \f(sin αcs α－tan α,－tan αsin α)＝－cs α.


(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝eq \f(1,5)，


∴sin α＝－eq \f(1,5).


又α是第三象限角，


∴cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).


(3)∵－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－cs eq \f(5π,3)＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).





11．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))的值为( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


答案 C


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2).


12．化简：eq \r(1＋2sinπ－2·csπ－2)得( )


A．sin 2＋cs 2 B．cs 2－sin 2


C．sin 2－cs 2 D．±(cs 2－sin 2)


答案 C


解析 eq \r(1＋2sinπ－2·csπ－2)＝eq \r(1－2sin 2cs 2)＝eq \r(sin 2－cs 22)＝|sin 2－cs 2|，


因2弧度在第二象限，故sin 2>0>cs 2，


所以原式＝sin 2－cs 2.


13．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为( )


A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C．－1 D．1


答案 A


解析 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.


原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(－tan α－1,－tan α＋1)＝eq \f(－m－1,－m＋1)＝eq \f(m＋1,m－1).


14．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，x<0，,fx－1－1，x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))的值为 ．


答案 －2


解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)π))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)；


f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))－1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))－2


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－2＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2).


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝－2.





15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 019)＝－1，则f(2 020)的值为 ．


答案 1


解析 ∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)＝－1，


∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcs(2 020π＋β)


＝asin[π＋(2 019π＋α)]＋bcs[π＋(2 019π＋β)]


＝－[asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)]＝1.


16．已知eq \f(1＋tanθ＋720°,1－tanθ－360°)＝3＋2eq \r(2)，


求：[cs2(π－θ)＋sin(π＋θ)cs(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·eq \f(1,cs2－θ－2π)的值．


解 由eq \f(1＋tanθ＋720°,1－tanθ－360°)＝3＋2eq \r(2)，


得(4＋2eq \r(2))tan θ＝2＋2eq \r(2)，


所以tan θ＝eq \f(2＋2\r(2),4＋2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，


故[cs2(π－θ)＋sin(π＋θ)cs(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·eq \f(1,cs2－θ－2π)


＝(cs2θ＋sin θcs θ＋2sin2θ)·eq \f(1,cs2θ)


＝1＋tan θ＋2tan2θ


＝1＋eq \f(\r(2),2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＝2＋eq \f(\r(2),2).