高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式导学案及答案

§5.3　诱导公式(二)

学习目标　1.在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．

知识点　诱导公式五、六

思考1　设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？

答案　P2(y，x)．

思考2　如何由公式四及公式五推导公式六？

答案　sin＝sin

＝sin＝cos α，

cos＝cos＝－cos

＝－sin α.

1．若cos A＝，那么sin＝________.

答案　

2．已知sin α＝，则cos＝________.

答案　

解析　cos＝sin α＝.

3．sin 95°＋cos 175°的值为________．

答案　0

解析　sin 95°＋cos 175°

＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)

＝cos 5°－cos 5°

＝0.

4．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos＝________.

答案　－

解析　cos＝－cos

＝－sin α＝－.

一、化简求值

例1　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C．－   D．－

答案　B

解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)

＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)已知sin＝，则cos的值为________．

答案　

解析　cos＝cos

＝sin＝.

延伸探究

1．将本例(2)的条件改为sin＝，求cos的值．

解　cos＝cos

＝－sin＝－.

(教师)

2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin

的值．

解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，

又sin＝，

所以－α是第二象限角，

所以cos＝－，

所以sin＝sin

＝－sin＝－cos＝.

(学生)

反思感悟　利用诱导公式化简、求值的策略

(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．

(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．

(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．

跟踪训练1　(1)已知sin＝，那么cos α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　sin＝sin

＝sin＝cos α＝.

(2)已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　∵sin

＝－sin

＝－sin

＝－cos

＝，

∴cos＝－.

二、三角恒等式的证明

例2　求证：

＝.

证明　左边＝

＝

＝

＝＝

＝＝＝右边．

所以原等式成立．

反思感悟　三角恒等式的证明策略

对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

跟踪训练2　求证：＋＝.

证明　左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边，

∴原等式成立．

三、诱导公式的综合应用

例3　已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：

(1)sincos；

(2)sin3＋cos3.

解　由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，

得sin α＋cos α＝，

两边平方整理得2sin αcos α＝－，

∴sin αcos α＝－，

∴cos α－sin α

＝±

＝±

＝±

＝±，

(1)sincos

＝sincos

＝－sinsin α

＝－sin αcos α＝.

(2)sin3＋cos3

＝cos3α－sin3α

＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)

＝×＝±.

反思感悟　诱导公式综合应用要“三看”

一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．

二看函数名称：一般是弦切互化．

三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．

跟踪训练3　已知cos α＝－，且α为第三象限角．

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值．

解　(1)因为α为第三象限角，

所以sin α＝－＝－.

(2)f(α)＝

＝tan α·sin α＝·sin α

＝＝2×＝－.

1．已知sin α＝，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　cos＝－sin α＝－.

2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　∵sin＝cos θ<0，

cos＝－sin θ>0，

∴sin θ<0，

∴角θ是第三象限角．

3．已知tan θ＝2，则等于(　　)

A．2  B．－2  C．0  D.

答案　B

解析　原式＝

＝

＝

＝

＝－2.

4．化简：＝________.

答案　－tan θ

解析　原式＝＝

＝

＝－tan θ.

5．已知cos＝，则sin的值为________．

答案　

解析　∵α＋＋＝，

∴sin＝sin

＝cos

＝.

1．知识清单：

利用诱导公式进行化简、求值与证明．

2．方法归纳：公式法、角的构造．

3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．

1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)

A．a  B．－a  C．a2  D.

答案　A

解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.

2．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　由sin(π＋α)＝得sin α＝－，

所以cos＝cos＝cos

＝sin α＝－.

3．(多选)下列与cos的值相等的是(　　)

A．sin(π－θ)   B．sin(π＋θ)

C．cos   D．cos

答案　BD

解析　因为cos＝－cos＝－sin θ，

sin(π－θ)＝sin θ，

sin(π＋θ)＝－sin θ，

cos＝sin θ，

cos＝－sin θ，

所以B，D项与cos的值相等．

4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，

得sin α＝，

cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.

5．化简：等于(　　)

A．－sin θ  B．sin θ  C．cos θ  D．－cos θ

答案　A

解析　原式＝

＝＝－sin θ.

6．已知cos＝－且α为第四象限角，则cos(－3π＋α)＝________.

答案　－

解析　因为cos＝sin α，

所以sin α＝－.

又α为第四象限角，所以cos α＝＝，

所以cos(－3π＋α)＝cos(π＋α)

＝－cos α＝－.

7．已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为________．

答案　－

解析　原式＝·(－sin α)·cos(－α)

＝·(－sin α)·cos α

＝·(－sin α)·cos α

＝－sin2α＝－.

8．已知cos＝，则cos＝________，sin＝________.

答案　－　

解析　cos＝cos

＝－cos＝－.

sin＝sin

＝cos＝.

9．已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．

解　(1)f(α)＝＝cos α.

(2)因为f(A)＝cos A＝，

又A为△ABC的内角，

所以sin A＝＝，

所以tan A＝＝，

所以tan A－sin A＝－＝.

10．已知角α的终边经过点P(m,2)，sin α＝且α为第二象限角．

(1)求m的值；

(2)若tan β＝，求的值．

解　(1)由三角函数定义可知sin α＝＝，

解得m＝±1.

∵α为第二象限角，∴m＝－1.

(2)由(1)知tan α＝－2，又tan β＝，

∴

＝－

＝－

＝－＝.

11．在△ABC中，cos ＝，则cos的值为(　　)

A．±  B．±  C.  D.

答案　C

解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴＝－，

∴cos ＝cos＝sin ＝.

又∈，∴cos ＝.

12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于(　　)

A．89  B．90  C.  D．45

答案　C

解析　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，

∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.

13．已知sin(π－α)＝－2sin，则sin αcos α等于(　　)

A.  B．－  C.或－  D．－

答案　B

解析　∵sin(π－α)＝－2sin，

即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，

∴sin αcos α＝

＝＝－.

14．sin2＋sin2＝________.

答案　1

解析　sin2＋sin2＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.

15．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)

A．sin β＝   B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝   D．tan β＝

答案　AC

解析　因为sin(π＋α)＝－sin α，

所以sin α＝，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，

故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±，故A满足；

C中tan β＝，即sin β＝cos β，

又sin2β＋cos2β＝1，

故sin β＝±，即C满足，而BD不满足．

16．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求·tan2(π－α)．

解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，

又α是第三象限角，所以sin α＝－.

所以cos α＝－，tan α＝＝，

所以·tan2(π－α)

＝·tan2α

＝·tan2α

＝－tan2α＝－.