高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后测评，共5页。
1．若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))且sin3α＝ eq \f(1,3)，则cs 3α＝( )
A．－ eq \f(2\r(2),3)B． eq \f(2\r(2),3)
C．－ eq \f(1,3)D． eq \f(2,3)
【答案】B
【解析】∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，∴3α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs 3α＞0，∴cs 3α＝ eq \r(1－sin23α)＝ eq \r(1－\f(1,9))＝ eq \f(2\r(2),3).
2．已知sinφ＝－ eq \f(3,5)，且|φ|＜ eq \f(π,2)，则tan φ＝( )
A．－ eq \f(4,3)B． eq \f(4,3)
C．－ eq \f(3,4)D． eq \f(3,4)
【答案】C
【解析】因为sin φ＝－ eq \f(3,5)，所以cs2φ＝1－sin2φ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(16,25).又因为|φ|＜ eq \f(π,2)，即－ eq \f(π,2)＜φ＜ eq \f(π,2)，所以csφ＝ eq \f(4,5)，从而tan φ＝ eq \f(sin φ,cs φ)＝ eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－ eq \f(3,4).
3．已知sin α－cs α＝－ eq \f(\r(5),2)，则tan α＋ eq \f(1,tan α)的值为( )
A．－4B．4
C．－8D．8
【答案】C
【解析】sin α－cs α＝－ eq \f(\r(5),2)，故(sin α－cs α)2＝ eq \f(5,4)，即1－2sin αcs α＝ eq \f(5,4)，∴sin αcs α＝－ eq \f(1,8)，∴tan α＋ eq \f(1,tan α)＝ eq \f(sin α,cs α)＋ eq \f(cs α,sin α)＝ eq \f(1,sin αcs α)＝－8.故选C.
4．已知cs α＋sin α＝－ eq \f(1,2)，则sin αcs α的值为( )
A．－ eq \f(3,8)B．± eq \f(3,8)
C．－ eq \f(3,4)D．± eq \f(3,4)
【答案】A
【解析】由已知得(cs α＋sin α)2＝sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝1＋2sin αcs α＝ eq \f(1,4)，解得sin αcs α＝－ eq \f(3,8).
5．(2023年枣庄期末)已知tan θ＝2，则 eq \f(sin θ(1＋sin 2θ),sin θ＋cs θ)的值为( )
A．－ eq \f(6,5)B．－ eq \f(2,5)
C． eq \f(2,5)D． eq \f(6,5)
【答案】D
【解析】因为tan θ＝2，所以 eq \f(sin θ(1＋sin 2θ),sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ(sin θ＋cs θ)2,sin θ＋cs θ)＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin2θ＋sinθcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝ eq \f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝ eq \f(6,5).
6．若α为第三象限角，则 eq \f(csα,\r(1－sin2α))＋ eq \f(2sinα,\r(1－cs2α))的值为( )
A．3B．－3
C．1D．－1
【答案】B
【解析】因为α为第三象限角，所以csα＜0，sin α＜0.所以原式＝－ eq \f(cs α,cs α)－ eq \f(2sin α,sin α)＝－3.
7．(多选)(2023年淄博月考)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))B．cs θ＝－ eq \f(3,5)
C．tan θ＝－ eq \f(3,4)D．sin θ－cs θ＝ eq \f(7,5)
【答案】ABD
【解析】由题知sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)①，∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝ eq \f(1,25)，∴2sin θcs θ＝－ eq \f(24,25)＜0.又∵θ∈(0，π)，∴ eq \f(π,2)＜θ＜π，sin θ－cs θ＞0.∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))＝ eq \f(49,25)，∴sin θ－cs θ＝ eq \f(7,5)②.联立①②，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(4,5)，,cs θ＝－\f(3,5)，))∴tan θ＝－ eq \f(4,3).故选ABD.
8．若sin θ＝－ eq \f(4,5)，tan θ＞0，则cs θ＝________．
【答案】－ eq \f(3,5)
【解析】由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cs θ＝－ eq \r(1－sin2θ)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－ eq \f(3,5).
9．已知tanα＝－2，则 eq \f(sin α,cs α＋2sin α)＝________．
【答案】 eq \f(2,3)
【解析】因为tan α＝－2，所以 eq \f(sin α,cs α＋2sin α)＝ eq \f(tan α,1＋2tan α)＝ eq \f(2,3).
10．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且 eq \f(sin α－cs α,sin α＋cs α)＝ eq \f(1,3).
(1)求tan α的值；
(2)求cs α－sin α的值．
解：(1)由 eq \f(sin α－cs α,sin α＋cs α)＝ eq \f(1,3)，得sin α＝2cs α，∴tan α＝2.
(2)∵sin2α＋cs2α＝1，sinα＝2cs α，
∴cs2α＝ eq \f(1,5).
∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα＝ eq \f(\r(5),5).
∴sin α＝2cs α＝ eq \f(2\r(5),5).∴cs α－sin α＝－ eq \f(\r(5),5).
B级——能力提升练
11．化简 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是( )
A．sin αB．cs α
C．1＋sin αD．1＋cs α
【答案】A
【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))·(1－cs α)＝ eq \f((1＋cs α),sin α)·(1－cs α)＝ eq \f(1－cs2α,sinα)＝ eq \f(sin2α,sinα)＝sin α.
12．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是( )
A．sin2y＝2sin2x＋1B．sin2y＝－2sin2x－1
C．sin2y＝2sin2x－1D．sin2y＝1－2cs2x
【答案】CD
【解析】∵tan2x－2tan2y－1＝0， eq \f(sin2x,cs2x)－2· eq \f(sin2y,cs2y)－1＝0，整理得sin2x·cs2y－2sin2y·cs2x＝cs2y·cs2x，∴(1－cs2x)(1－sin2y)－sin2y·cs2x＝(cs2y＋sin2y)·cs2x，即1－cs2x－sin2y＋sin2y·cs2x－sin2y·cs2x＝cs2x，即sin2y＝1－2cs2x＝2sin2x－1.故选CD.
13．(2023年青岛期末)若tanα＝2，则sin4α＋sinαcs α－cs4α＝________．
【答案】1
【解析】由tanα＝2可得sin4α＋sinαcs α－cs4α＝(sin2α－cs2α)(sin2α＋cs2α)＋sinαcs α＝sin2α－cs2α＋sinαcs α＝ eq \f(sin2α－cs2α＋sinαcs α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(tan2α－1＋tanα,tan2α＋1)＝1.
14．若tanα＋ eq \f(1,tan α)＝3，则sin αcs α＝________，tan2α＋ eq \f(1,tan2α)＝________．
【答案】 eq \f(1,3) 7
【解析】因为tanα＋ eq \f(1,tan α)＝3，所以 eq \f(sin α,cs α)＋ eq \f(cs α,sin α)＝3，即 eq \f(sin2α＋cs2α,sinαcs α)＝3，所以sin αcs α＝ eq \f(1,3)，tan2α＋ eq \f(1,tan2α)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanα＋\f(1,tan α))) eq \s\up12(2)－2tan α· eq \f(1,tan α)＝9－2＝7.
15．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cs θ是方程2x2－( eq \r(3)－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求 eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋ eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(3)若θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，求cs2θ的值．
解：(1)因为sinθ，cs θ是方程2x2－( eq \r(3)－1)x＋m＝0的两个实数根，
所以sin θ＋cs θ＝ eq \f(\r(3)－1,2)，sin θcs θ＝ eq \f(m,2)，
由(sin θ＋cs θ)2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2))) eq \s\up12(2)，
则1＋2sin θcs θ＝1＋m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2))) eq \s\up12(2)，所以m＝－ eq \f(\r(3),2).
(2) eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋ eq \f(cs θ,1－tan θ)＝ eq \f(sin2θ,sinθ－cs θ)＋ eq \f(cs2θ,csθ－sin θ)＝ eq \f(sin2θ－cs2θ,sinθ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝ eq \f(\r(3)－1,2).
(3)由(1)知sin θ＋cs θ＝ eq \f(\r(3)－1,2)①，
sin θcs θ＝－ eq \f(\r(3),4)，
所以(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1＋ eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(4＋2\r(3),4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2))) eq \s\up12(2).
因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以cs θ＞0，sin θ＜0，cs θ－sin θ＝ eq \f(1＋\r(3),2)②，
所以由①②可得cs θ＝ eq \f(\r(3),2)，
所以cs2θ＝ eq \f(3,4).