高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第二课时课时作业

第2课时　等比数列的性质

课后·训练提升

基础巩固

1.已知{an}是等比数列,则“a2<a4”是“{an}是递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:由数列{an}是等比数列,可假设a1=-2,q=-2,则a1=-2,a2=4,a3=-8,a4=16,

可知a2<a4,但数列{an}不是递增数列;

若数列{an}是递增数列,则由定义可知,a2<a4,故“a2<a4”是“{an}是递增数列”的必要不充分条件.

2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)

A.a1,a3,a9成等比数列

B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列

D.a3,a6,a9成等比数列

答案:D

解析:因为=a3a9,

所以a3,a6,a9成等比数列.

3.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是(　　)

A.-5 B.- C.5 D.

答案:A

解析:由题知log3an+1=log3(3an)=log3an+1,

则an+1=3an>0,即=3,故{an}是公比q=3的等比数列.

则a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=9×33=35,

得lo(a5+a7+a9)=lo35=-5.

4.(多选题)已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9,且a10>b10,则以下结论正确的有(　　)

A.a9a10<0 B.a9>a10

C.b10>0 D.b9>b10

答案:AD

解析:因为等比数列{an}的公比q=-,所以a9和a10异号,所以a9a10<0,故A正确;

但不能确定a9和a10的大小关系,故B不正确;

因为a9和a10异号,且a9>b9,且a10>b10,

所以b9和b10中至少有一个数是负数,

又b1=12>0,所以公差d<0,所以b9>b10,故D正确;

所以b10一定是负数,即b10<0,故C不正确.

故选AD.

5.在等比数列{an}中,若a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7=　　　　　. 

答案:256

解析:设等比数列{an}的公比为q.

∵a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,∴a3a8=213.

∵a3=16=24,∴a8=29=512.

又a8=a3q5,∴q=2,∴a7==256.

6.已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d=　　　　　. 

答案:90

解析:由题知a+b=6+48=54,,cd=288,则c=12,d=24,

故a+b+c+d=54+12+24=90.

7.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于　　　　　平方厘米. 

答案:2 048

解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S==22×29=211=2048.

8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　　. 

答案:50

解析:因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以lna1+lna2+…+lna20

=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10

=10ln(a10a11)=10lne5=50lne=50.

9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值为　　　　　. 

答案:

解析:已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b-c)(b-a),把c=a+x(b-a)代入上式,得x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即=(1-x)(b-a)2.

因为b>a,所以b-a≠0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=或x=(舍去).

10.已知数列{an},设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用an表示an+1;

(2)当a1=时,求数列{an}的通项公式.

解:(1)由根与系数的关系,得α+β=,αβ=,

因为6α-2αβ+6β=3,所以=3,

即an+1=an+.

(2)因为an+1=an+,

所以an+1-,且a1-,

所以是首项为,公比为的等比数列,可得an-,即数列{an}的通项公式为an=.

11.海滩上有一堆苹果,五只猴子来分,第一只猴子把苹果分成五等份,多一个,于是它把多的一个扔到海里,取走一份;第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份,多了一个,它把多的一个扔到海里,取走一份;以后的三只猴子都是如此处理.问原来至少有多少个苹果?最后至少剩下多少个苹果?

解:设最初的苹果数为a1,五只猴子分剩的苹果数依次为a2,a3,a4,a5,a6,

由题意得,an+1=(an-1)-(an-1)=an-,(*)

设an+1+x=(an+x),即an+1=an-x,

对照(*)式,得-x=-,得x=4.

即an+1+4=(an+4).

故数列{an+4}为等比数列,首项为a1+4,公比q=,即a6+4=(a1+4)×,因此a6=(a1+4)×-4.

由题意知a6为整数,故a1+4的最小值是55,则a1的最小值是55-4=3121,即最初至少有3121个苹果,从而最后至少剩下a6=45-4=1020个苹果.

能力提升

1.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:D

解析:由题意可知a,b是方程x2-px+q=0的两根,

∴a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.

∵a,b,-2适当排序后成等比数列,∴-2是a,b的等比中项,得ab=4,∴q=4.

又a,b,-2适当排序后成等差数列,∴-2是第一项或第三项,不妨设a<b,则-2,a,b成递增的等差数列,∴2a=b-2,联立得

消去b得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.

又a>0,∴a=1,此时b=4,∴p=a+b=5,

∴p+q=9,选D.

2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之栗五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲哀偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(　　)

A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=

B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=

C.a,b,c依次成公比为的等比数列,且a=

D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c=

答案:D

解析:由条件知a,b,c依次成公比为的等比数列,三者之和为50升,

则c+2c+4c=50,解得c=.

3.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q(q≠-1),设bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1) +m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,则以下结论一定正确的是(　　)

A.数列{bn}为等差数列,公差为qm

B.数列{bn}为等比数列,公比为qm

C.数列{cn}为等比数列,公比为

D.数列{cn}为等比数列,公比为

答案:BC

解析:bn=am(n-1)+1·(1+q+q2+…+qm-1),由q≠-1,易知bn≠0,=qm,

故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A错误,B正确;

cn=·q1+2+…+(m-1),=(qm)m=,

故数列{cn}为等比数列,公比为,选项D错误,选项C正确.故选BC.

4.在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=　　　　　. 

答案:8

解析:由等比数列的性质,得a3a11=,即=4a7,

由a7≠0,得a7=4.

又b7=a7=4,

由等差数列的性质,知b5+b9=2b7=8.

5.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=　　　　　. 

答案:-9

解析:由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明等比数列{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于数列{an}中连续四项至少有一项为负,即q<0.又|q|>1,即数列{an}的连续四项依次为-24,36,-54,81.

则q==-,故6q=-9.

6.已知三个数成等比数列,其积为512,若第一个数与第三个数各减去2,此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　　. 

答案:28

解析:根据题意设原来的三个数依次为,a,aq,

∵·a·aq=512,

∴a=8.

又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列,∴+(aq-2)=2a,

∴2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,

∴原来的三个数依次为4,8,16或16,8,4,

∴原来的三个数的和等于28.

7.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;……依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=　　　　　. 

答案:

解析:在等腰直角三角形ABC中,

因为斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=sin·an=an,

所以{an}是首项为2,公比为的等比数列,即an=2×,故a7=2×.

8.在等差数列{an}中,公差d≠0,a1,a2,a4成等比数列,已知数列a1,a3,,…,,…也成等比数列,求数列{kn}的通项公式.

解:由题意得=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得d(d-a1)=0,∵d≠0,∴a1=d.

又a1,a3,,…,,…成等比数列,

∴该数列的公比q==3,∴=a1·3n+1.

∵=a1+(kn-1)d=kna1,

∴数列{kn}的通项公式为kn=3n+1.

9.在等比数列{an}中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.

(1)求证:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{bn}的前n项和Sn及数列{an}的通项公式;

(3)试比较an与Sn的大小.

(1)证明:∵bn=log2an,

∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q(q>0)为常数,

∴数列{bn}为等差数列,且公差d=log2q.

(2)解:∵b1+b3+b5=6,

∴(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2.

∵a1>1,∴b1=log2a1>0,

又b1·b3·b5=0,∴b5=0,

即解得

∴Sn=4n+·(-1)=.

∵d=log2q=-1,∴q=.

∵b1=log2a1=4,∴a1=16,∴an=25-n.

(3)解:由(2)知,an=25-n>0,当n≥9时,Sn=≤0,即当n≥9时,an>Sn.

∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,

S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,

∴当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn;

当n=1,2或n≥9时,an>Sn.