高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列教案，共11页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时1等比数列的概念
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法（一）
6.数列求和的方法（二）
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子（如购房房贷、人口增长等）,也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:一张普通的A4纸,有人说至多只能折九次,同学们你们相信吗?
【学生准备一张纸,动手实践,结果发现折不到九次就折不动了,教师鼓励学生说明原因.学生讨论,教师作补充,共同分析厚度的变化,得出一个数列】
师:如果你能够对折50次,猜它的高度将是多少?
【学生猜测,教师揭示答案:这个高度可以在地球和月球之间建一座桥】
师:折纸每次的高度可以看作一个数列,而这个数列的规律为:后项是前项的2倍.好的,同学们,现在请打开课本,我们上课之前先看一下这个例子:两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上有如下数列:①;②,;③.
师:我们发现发掘出的泥板上的这几个数列和我们刚刚做游戏中的数列存在着某种共同特点,哪位同学可以总结一下这些数列之间的共性?
【学生思考,合作交流,回答问题】
生:就每一个数列而言,都是按某数的次幂的升序排列,后项是前项的固定倍数.
师:很好!类似的数列还有:《庄子天下》中说的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,细胞的分裂,银行存款利息等等.那么类比于等差数列,这种数的排列也是具有规律的.我们来看一下今天课上学习的重点.
【设计意图】
以小游戏开头,且此结果出乎预料,提高学生学习兴趣.由日常生活中的实例,让学生思考其中的共性,分析数列中数据的特点,由学生自己总结出其中的特点,引出课题.
教学精讲
【情境设置】
发现规律
《庄子·天下》中说的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.从第一天开始,各天得到的“棰”长依次是:,计算一下,从第2项起,每一项与前一项的比都是多少?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,从第2项起,每一项与前一项的比都是】
【先学后教】
教师先规定学习任务,在具体的问题情境中,学生根据教师列出的数据的特点,自主发现规律之后,教师再教授概念.
【观察记忆能力】
通过教师教授等比数列定义、等比中项定义,促使学生记忆定义,为后面的学习奠定基础,提升观察记忆能力.
【要点知识】
等比数列的定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示显然.
师:这就是等比数列的定义,类比于等差数列,我们还可以得到一个概念,就是等比中项.
【要点知识】
等比中项
由三个数组成的等比数列,叫做与的等比中项,此时,.
师:同学们可以仿照等差数列的形式,按照等比数列的定义把它的递推公式写一下,然后利用递推公式把通项公式表示出来.
生:根据个等式递推公式是.
师:很好!那么再分析整合一下,使通项公式中只含有公比和首项,可以写成怎样?
【学生独立思考,推理演算,教师予以肯定】
【要点知识】
等比数列的通项公式
以为首项,为公比的等比数列的通项公式为.
师:由等差数列的通项公式,我们知道它和一次函数相对应,那由等比数列的通项公式,它又和哪个函数相对应呢?
【推测解释能力】
学生能提取相关知识,对其进行直接推理,从等比数列的递推公式中总结出通项公式,知识掌握更牢固.
【引导学生思考,阅读教材,自主学习,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
等比数列和指数函数的对应关系
等比数列可化为的形式.当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即.
师:那么在平面直角坐标系中,等比数列的图象是怎样的?
生:是点图象,位于轴右侧的离散的孤立的点,当且时,点都在曲线上.
【自主学习】
学生通过把数列的通项公式和函数解析式类比,得出等比数列和指数函数相关联的结论,学习等比数列新概念的同时也对函数的概念加深了认识.
【要点知识】
等比数列的图象表示

【观察记忆能力】
从学生的角度出发,以直观的教学手段来理解数学的抽象,以图象展示等比数列的特点,更能把抽象的数列知识形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
师:图象是当时的图象,当且时,等比数列的图象是点,组成的集合,这些点均匀分布在曲线上.反之,任给指数函数,为常数,,且),则构成一个等比数列,其首项为,公差为.
师:好的,那接下来我们利用通项公式解决等比数列的一些问题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项.
师:这个题可以利用方程的思想,也就是仿照等差数列通项公式的简单应用,在四个基本量中已知其三可求一,列方程先把数列的首项和公比求出来,再根据通项公式求得第5项.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
师:由同学的回答,我们知道这个题目的答案不是唯一的,第5项是24或,是因为公比可能有两个,或.这也是我们在解等比数列的题目时需要注意的地方.因为前边我们还接触了一个概念:等比中项,换种思路能不能解出同样的答案呢?
【教师引导学生思考,学生独立完成,教师指定学生讲解给全班】
师:因为恰好是和的等比中项,所以借助等比中项的方法,我们很快就能算出这个题的答案,同样需要注意的是开方之后的数有两个,要根据题意进行选取或者是都写完整.由这个方法我们也可以确定一点,等比中项在有的题里是个巧妙的方法,大家需要注意.
【概括理解能力】
引导学生根据所理解的概念,实际操作,拓宽解题思路,能对问题进行归纳概括,独立完成,培养概括理解能力.
师:下面请看下一题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例2 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
解:由题意,得.
②的两边分别除以①的两边,得,
所以.
师:由此我们可以知道等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比来表示.类比等差数列中相关内容,可以得到等比数列中局部某几项的关系:,.
【推测解释能力】
根据所学知识,学生可自主对例题进行推理,由此可知等比数列的任意项都可以由该数列的某一项和公比来表示.
师:如果是等差和等比的综合题目,该怎样解题?
【典型例题】
通项公式的综合应用
例3 数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
师:我们可以设公差为,公比为,现在选取两位同学,每位同学负责根据所给条件中的一个,列出一个方程.
【引导学生积极思考,独立完成,教师指定同学在黑板上完成方程,并予以肯定】
师:同学们,我们现在得到了一个二元一次方程组,解这个方程组就可以得出公差和公比,或所以这个数列也相应的有两个:,112或.
【自主学习】
学生自主思考,解决通项公式的综合应用题,体现自主学习,提高学生的综合问题解决能力.
师:好的,同学们,通过这节课我们知道了等比数列的概念,等比中项以及等比数列的通项公式,那么反过来我们是不是也得到了怎样判定一个数列是否是等比数列的方法?
【方法策略】
判定数列为等比数列的方法
1.定义法:或(为常数)为等比数列.
2.等比中项法:为等比数列.
3.通项公式法:(其中为非零常数,)为等比数列.
师:由以上判定方法,其实又是对等比数列概念的加深理解过程.但是要注意:在大题中,要以定义法判定证明为主,其他方法适用于选填问题.好了,我们接下来练习一些题目巩固一下今天所学知识.
【巩固练习】
等比数列的概念
1.判断下列数列是否是等比数列.如果是,写出它的公比.
(1)(2);
(3);(4).
2.已知是一个公比为的等比数列,在下表中填上适当的数.





2

8



2


0.2
3.在等比数列中,.求和公比.
4.对数列,若点都在函数的图象上,其中为常数,且,试判断数列是否是等比数列,并证明你的结论.
5.已知数列是等比数列.
(1)是否成等比数列?为什么?呢?
(2)当时,是否成等比数列?为什么?
当时,是等比数列吗?
【概括理解能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用等比数列的相关概念进行列式、计算解决问题.通过巩固练习加深对知识的理解,锻炼概括理解能力.
师:好的,同学们,下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
等比数列的概念
1.等比数列的概念;
2.等比中项;
3.等比数列的通项公式;
4.等比数列和指数函数的关系;
5.通项公式的简单应用和综合应用,即“知三求一”,在四个基本量,中已知其三可求一.
师:非常好!其实我们通过这节课也反面知道了等比数列的判定方法:定义法、等比中项法、通项公式法.这节课内容还是侧重概念理解的,下一节课我们会在理解概念的基础上学习等比数列的性质,并利用它的性质解决一些问题.
【设计意图】
教师引导学生自主总结当堂课重点内容及解决问题的方法,培养了概括理解,推测解释,分析计算能力,提升了数学运算,逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.