高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案设计，共11页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时3等比数列的前n项和公式、性质及应用
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法（一）
6.数列求和的方法（二）
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子（如购房房贷、人口增长等）,也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,今天我们来讲一个故事.大家都知道国际象棋吧.
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了,已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查,2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言.
那么怎么去分析判断?这里边蕴含着怎样的数学知识和数学方法呢?
【学生阅读教材,积极思考,交流讨论】
师:如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.那么我们怎么去求一个等比数列的前n项和呢?有没有类似于等差数列前n项和那样的公式呢?
【引导学生回忆等差数列前n项和公式推导的思路,并进行应用证明】
【设情境 巧激趣】
由学生熟知的故事引出本节课题,激发学生探索学习的兴趣,又从中可探究出重要的数学方法.
教学精讲
师:我们可以先把等比数列设出来,
设等比数列的首项为,公比为,则的前项和是.根据等比数列的通项公式,上式可写成①.因为这个式子里边右边的公比的指数是从0到,我们可以用公比乘上式的两边,就得到:②.①②两式的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,可得,即.这个结果实际上就是等比数列的前项和公式了.推导过程用的方法叫做错位相减法,推导过程也是同学们需要掌握的.
【以学论教】
以学生为中心,选取学生感兴趣的题目引出数学知识,由学生自主验证,加深学生的印象.情境教学、以学论教.
【要点知识】
等比数列的前项和公式
若数列是等比数列,首项为,公比为,则前项和

师:注意到当时,数列为常数列,所以这里我们要加以区分.有了这个公式之后,我们就可以对那个国王能否兑现自己承诺的故事加以验证了.请同学来给大家评判一下.
【学生积极思考,运用所学知识,计算验证,教师指定同学回答】
生:由,可得.
这个数很大,超过了.如果一千颗麦粒的质量约为,那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨,约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此,国王根本不可能实现他的诺言.
【观察记忆能力】
观察推理过程,记忆相关步骤,在观察记忆中,加深对前n项和公式推导过程的理解,培养观察记忆能力.
【活动学习】
教师以学生为中心,组织学生分组学习,学生根据教师给定问题,在特定情境中,以小组为单位,通过合作交流讨论得到答案.
师:正确,那我们联系一下等差数列的前项和相关性质,是不是有奇数项和、偶数项和区分,那么等比数列的奇数项和、偶数项和又有怎样的特点呢?
【要点知识】
等比数列前项和公式的性质
若数列的项数为,则;若项数为,则.
师:那现在我们已经将等比数列前项和公式推导出来,也掌握了它的奇数项和、偶数项和的性质,接下来通过一道例题把公式熟悉掌握一下.
【典型例题】
等比数列的性质及应用
例1 已知数列是等比数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师:对于这道题目,我们把同学分成3组,每组同学选出一个代表,依次讲给全班听,重要的是我们要将出现的公式和内在关系记熟.
【自主学习】
教师引导学生自主探究,学生自己锻炼推导公式的思路、思维,自主研究、自主学习.
【学生积极思考,认真计算,分组交流,讲题训练,教师作点评总结】
师:其实这道题目说明了等比数列前项和的一个应用,类比于等差数列相关知识,即“知三求二”,在五个基本量中已知其三可求二.我们再来看一道例题.
【典型例题】
等比数列的前项和公式的简单应用
例2 已知等比数列的首项为,前项和为.若,求公比.
师:对于这道题目请同学们独立思考,自己作答.
【学生独立思考,自主作答,教师巡视检查,批改学生的完成情况】
师:注意到很多同学都出现了同一个问题,就是忽视了公比能否等于1的这个问题.当然这个题目的答案是,但是我们在解题时也一定先要验证下是否等于1,因为时,数列为常数列,所以在解题时一定注意验证!由于这道例题是从前项和公式的角度出发求公比,我们再来看一道题目,是从前项和成等比数列的角度出发求公比.
【猜想探究能力】
通过教师设定疑问,学生将问题和所学公式联系起来,结合各种已知条件,创造解题思路、培养猜想探究能力.
【典型例题】
等比数列的前项和公式的简单应用
例3 已知等比数列的公比,前项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比.
师:思考一下,这道题需不需要分类讨论,即公比和的情况.
生:需要讨论,因为时,数列为常数列,的结果和的时候不一样.
师:那么我们分别通过公式计算一下.
生:证明:
当时,,
所以成等比数列,公比为1.
当时,.所以.
师:很好!从中我们能得到什么结论?是不是无论是否等于1,这个数列都成等比数列,是否可以用一个通式表示它的公比?
生:公比为.
师:想一想,不用分类讨论的方式能否证明该结论?
【教师引导学生自主思考,发散思维,联系等比数列的定义解决问题】
师:因为数列是等比数列,且公比为,所以可得到如下式子:
(1);
(2);
(3).
由上述三个式子,根据等比数列的定义,我们可以证明出数列就是等比数列,且公比为.此方法无需对公比分类讨论,因为它根据的是等比数列的定义,而如果利用前项和公式进行证明时,就一定要进行分类讨论.
师:再思考下为什么题目规定?
生:因为时,数列为摆动数列,不符合题意.
师:确切的还不是这个原因,当时,数列为摆动数列,而当时,数列为,当为偶数时,,由等比数列的定义,得到不构成等比数列.所以且为奇数或者是的情况下,数列,都是等比数列.
【少教精教】
在一个具体问题的基础上,教师更进一步提出疑问,启发思考,并且联系等比数列的定义,达到少教精教的目的.
【要点知识】
等比数列的前项和公式的性质
等比数列的公比为,其前项和为(且),则:
(1);
(2)仍成等比数列,其公比为:
①当且为偶数时,数列不是等比数列;
②当或为奇数时,数列是等比数列.
【推测解释能力】
引导学生通过两种方法证明,为等比数列,培养学生的思维多样性,提升推测理解能力.
师:好的,同学们,接下来我们再练习一些习题,来掌握等比数列前项和公式的性质及应用.
【巩固练习】
等比数列的前项和公式、性质及应用
1.已知数列是等比数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求与;
(4)若,求与.
2.已知,且.对于,证明:
.
3.设等比数列的前项和为,已知.求和.
4.已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.
5.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少?
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列前n项和公式的推导、性质及应用.下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
等比数列的前n顶和公式、性质及应用
1.等比数列前n项和公式的推导过程.
2.等比数列前n项和公式的性质.
3.等比数列前n项和公式的性质及应用.
师:很好!通过本节课的学习,我们需要理解并掌握等比数列的前n项和公式的推导过程——错位相减法,以及前n项和公式的性质及应用.现在两个重要的数列模型:等差数列和等比数列我们都学到了,下一次课就要结合两个模型综合解决一些实际问题.
【设计意图】
通过教师引导学生总结当堂课程重点、内容、理解前n项和的公式推导方法,掌握等比数列的性质及简单应用,培养了观察记忆、分析计算、推测解释、猜想探究能力、提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.