高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第二课时课时训练

第2课时　等比数列前n项和的应用

课后·训练提升

基础巩固

1.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q等于(　　)

A.1 B.0 

C.1或0 D.-1

答案:A

解析:∵Sn-Sn-1=an(n≥2),且{Sn}是等差数列,

∴an为定值,即数列{an}为常数列,

∴q==1(n≥2).

2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(　　)

A. B.2 

C. D.17

答案:C

解析:设等比数列{an}的公比为q.

由=q3=,得q=.

故=1+=1+q4=.

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则第三天走了(　　)

A.60里 B.48里 

C.36里 D.24里

答案:B

解析:依题意,这个人每天步行的路程数是等比数列,设为{an},且q=,n=6,S6=378,故=378,解得a1=192,故a3=a1q2=192×=48(里).

4.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+…+x10=10,记{xn}的前n项和为Sn,则S20等于(　　)

A.1 025 B.1 024 

C.10 250 D.20 240

答案:C

解析:∵log2xn+1=1+log2xn=log2(2xn),∴xn+1=2xn,且xn>0,

∴{xn}为等比数列,且公比q=2,∴S20=S10+q10S10=10+210×10=10250,故选C.

5.已知等比数列{an}的通项公式为an=2×3n-1,其前n项和为Sn,则a1+a3+…+a2n-1等于(　　)

A.3n-1 B.32n-1-1 

C.(9n-1) D.9n-1

答案:C

解析:设等比数列{an}的公比为q,S2n=a1+a3+…+a2n-1+a2+a4+…+a2n

=(a1+a3+…+a2n-1)(1+q),

故a1+a3+…+a2n-1=S2n=(9n-1).

6.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果精确到个位)(　　)

A.300米 B.299米 

C.199米 D.166米

答案:A

解析:小球第10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×=100+200×≈300(米).

7.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6等于(　　)

A.3×44 B.3×44+1 

C.45 D.45+1

答案:A

解析:当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,

可得an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,

故该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.

由于a2=3S1=3a1=3,

即an=

故当n=6时,a6=3×46-2=3×44.

8.已知等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=　　　　　. 

答案:2

解析:根据等比数列的前n项和的性质,得=q,

又由题意,可知=2,即q=2.

9.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加0.5万元,两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)

解:甲方案的年利润是等比数列,乙方案的年利润是等差数列.

①甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.62(万元),

银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元),

故甲方案获利:42.62-16.29=26.33(万元).

②乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+×0.5=32.50(万元);

银行贷款本息:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×≈13.21(万元).

故乙方案获利:32.50-13.21=19.29(万元).

综上可知,甲方案获利更多.

10.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求a1+a3+…+a2n+1.

解:(1)∵S1=a1=1,

且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,

∴Sn=2n-1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.

当n=1时a1=1,不适合上式.

故an=

(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,

即a3+a5+…+a2n+1=,

故a1+a3+…+a2n+1=1+.

能力提升

1.(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和,若q≠1,m∈N*,则下列说法正确的是(　　)

A.+1

B.若=9,则q=2

C.若=9,,则m=3,q=2

D.若=9,则q=3

答案:ABC

解析:A中,∵q≠1,∴=1+qm.

而=qm,∴A正确;

B中,∵m=3,∴=q3+1=9,解得q=2.故B正确;

C中,由=1+qm=9,得qm=8.又=qm=8=,解得m=3,q=2,∴C正确;

D中,∵=q3=9,∴q=≠3,∴D错误.

故选ABC.

2.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和为85,所有偶数项之和为170,则S=a3+a6+a9+a12的值为(　　)

A.580 B.585 C.590 D.595

答案:B

解析:设等比数列{an}的公比为q,则由题意有即S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=585.

3.已知{an}是首项为1,公比q<0的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且=5,则数列的前5项和为　　　　　. 

答案:

解析:∵=1+q2=5,∴q=±2.

∵q<0,∴q=-2.

∴是首项为1,公比为-的等比数列,

前5项和T5=.

4.已知等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,则这个等比数列的公比q=　　　　　,又令该数列的前n项的积为Tn,则Tn的最大值为　　　　　. 

答案:　2

解析:设数列{an}共有2m+1项,由题意得

S奇=a1+a3+…+a2m+1=,S偶=a2+a4+…+a2m=,

S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+q=,

解得q=.

则Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+(n-1)=,

故当n=1或n=2时,Tn取最大值,为2.

5.设数列{an}的前n项和为Sn,点在直线y=x+上.若bn=,则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　. 

答案:

解析:根据题意,得=n+,即Sn=n2+n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=2n-;

当n=1时,a1=S1=,符合an=2n-,故an=2n-,则bn==32n.

由=32=9,可知{bn}为公比等于9的等比数列,b1=32×1=9,

故Tn=.

6.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的,第n层的货物的价格为　　　　　,若这堆货物的总价是万元,则n的值为　　　　　. 

答案:n　6

解析:由题意可得第n层的货物的价格为an=n.

设这堆货物总价是Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+n×,①

则Sn=1×+2×+3×+…+n×,②

由①-②,可得Sn=1++…+-n×-n×=8-(8+n)·,Sn=64-8(8+n)·,

∵这堆货物的总价是万元,

∴8(8+n)=112,

解得n=6.

7.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=3an.求数列{an}的前n项和Sn.

解:因为an≠0,所以=3,于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列,

因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.

于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)

+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=,

从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).

综上所述,Sn=

8.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.

(1)若Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn=;

(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.

(1)证明:∵an=,

Sn=,

∴Sn=.

(2)解:∵log3an=log33-n=-n,

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+3+…+n)=-,

∴数列{bn}的通项公式为bn=-.

9.某企业2022年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2023年起每年比上一年纯利润减少20万元.2023年初该企业一次投入资金600万元进行技术改造.预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2023年为第一年)的利润为500万元(n为正整数).

(1)设从2023年起到第n年,该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;

(2)依上述预测,从2023年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

解:(1)根据题意,

An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

Bn=500-600=500n--100.

(2)Bn-An=-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10.

∵函数y=n(n+1)--10在区间(0,+∞)上单调递增,

当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10<0;

当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10>0,

∴仅当n≥4时,Bn>An.

故至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.