高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列学案

4.3 等比数列

1、等比数列的概念

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：(n≥2，q为非零常数).

（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.

2、等比数列的通项公式及前n项和公式

（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

（2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

（3）错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.

3、等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

4、注意：

（1）若数列为等比数列，则数列(c≠0)，，，也是等比数列.

（2）由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

（3）在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

5、构造法：

（1）由相减得，则为等比数列。

（2）设，得到，，则 为等比数列。

题型一 等比数列的基本公式

例1　等比数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和，若，求．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设等比数列的公比为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；

（2）利用等比数列的求和公式求出，然后解方程可得的值.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，由题意可得，解得，

因此，数列的通项公式为；

（2），由，解得.

等比数列的前n项和为，若，，，则       。

【分析】

根据，利用等比数列的性质得到,结合，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求.

【详解】

由于在等比数列中，由可得：，

又因为，

所以有：是方程的二实根，又，所以，

故解得：，从而公比

那么，

题型二 等比中项

例 2　数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（    ）

A．1或3 B．0或2 C．3 D．2

【答案】A

【分析】

根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值.

【详解】

设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，

即，解得或2，

所以或，所以或3，

故选：A

已知数列是正项等比数列，若是和的等比中项，则的值是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据等比中项的定义可得，再由下标和的性质即可求得结果.

【详解】

根据等比中项的定义可得，

且数列是正项等比数列，则，

由下标和的性质，，

所以.

所以本题答案为B.

题型三 等比数列的性质

例 3　等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运算，即可求得结果.

【详解】

由等比数列的性质可得：，所以.

.

则，

故选：B.

已知是等比数列，，且，则等于______.

【答案】6

【分析】

根据等比数列通项公式的性质，化简等式即可得解.

【详解】

是等比数列，所以，

所以

，

所以，

而，所以，

故答案为：6.

题型四 前n项和的性质

例 4　设等比数列的前项和为，若 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先由等比数列前项和公式列方程，并解得，然后再次利用等比数列前项和公式，则求得答案．

【详解】

设公比为，则，

∴，

∴．

故选：B．

已知各项都是正数的等比数列，为其前项和，且，，那么        。

【分析】

设等比数列的公比为，由，求得，进而得到，再利用等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为，其中，

因为，，可得，

两式相除，可得，

即，解得或（舍去），

把，代入，可得，

所以.

题型五 已知求通项公式

例 5　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用来求的通项.

【详解】

，化简得到，填.

已知数列的前项和，则该数列的通项公式______

【答案】

【分析】

根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.

【详解】

由得：

，即

又，则

由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列

则

本题正确结果：

题型六 构造法

例 6　数列{an}中，，

（1）求证：数列{an+n}为等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

(1)由递推式可得到，即可证数列{an+n}为等比数列；(2)由(1)的结论可知，即可知{an}的通项公式

【详解】

（1）证明：根据题意，，则

∴且

故，数列{}是首项与公比都为2的等比数列.

（2）由（1）结论可知：

∴

已知数列满足．

（1）证明：是等比数列；

（2）求

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用递推公式可以得到的表达式，两个式子相减即可得到与的表达式；构造数列{}，即可证明{}为等比数列．

（2）利用{}为等比数列，可求得{}的通项公式；将{}分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和．

【详解】

（1）由得：，

因为 ，

所以，

从而由得，

所以是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）得，

所以

.

题型七 分组求和

例 7　己知{an}是等差数列，其前n项和Sn＝n2﹣2n+b﹣1，{bn}是等比数列，其前n项和Tn，则数列{ bn +an}的前5项和为        。

【分析】

由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b＝1，a＝2，求得数列{an}，{bn}的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】

{an}是等差数列，其前n项和，

由等差数列的求和公式可得b﹣1＝0，即b＝1，

即Sn＝n2﹣2n，

a1＝S1＝﹣1，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）＝2n﹣3，

则an＝2n﹣3，n∈N*；

{bn}是等比数列，其前n项和，

则b13，bn＝Tn﹣Tn﹣13n3n﹣1＝﹣2•3n﹣1，

则3＝﹣2，即a＝2，

则bn +an＝n+2n，

数列{ bn +an}的前5项和为（1+2+…+5）+（2+4+…+32）

5×677．

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法求的数列的前项和.

【详解】

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

因为b2=3，b3=9，可得，

所以bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1，

又由a1=b1=1，a14=b4=27，

所以，

所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)×d=1+2(n-1)=2n-1；

（2）由题意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1，

设数列{cn}的前n项和为，

则

.

题型八 错位相减

例 8　已知等比数列的公比，且，的等差中项为10，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列的通项公式；

（2）化简，利用错位相减法求数列的前项和．

【详解】

（1）由题意可得：，

，

，，数列的通项公式为．

（2），，

，

上述两式相减 可得

．

已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且

公比大于0，,，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以.

又因为，解得.所以，.

由，可得 ①.

由，可得 ②，

联立①②，解得，，由此可得.

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（Ⅱ）设数列的前项和为，

由，，有，

故，

，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

1、若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为(　　)

A．102 B．101

C．100 D．99

【答案】A

【解析】

 由，得，

 所以数列是公比为的等比数列，

又，

所以，

所以，故选A．

2、已知是等比数列，，则公比=（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】

由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.

【详解】

由等比数列的性质可得：，即：，解得：.

故选D.

3、已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用正项等比数列{an}的前n项和公式，通项公式列出方程组，求出a1＝1，q＝，由此能求出S5的值．

【详解】

解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，

∴，解得a1＝1，q＝，

∴S5＝＝＝．

故选：B．

4、已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由已知条件，利用等比数列的通项公式求得公比，进而可求得结果.

【详解】

各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0，

由成等差数列，可得，即，

所以，解得或（舍），

所以.

故选：D.

5、（多选）已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

【答案】ABD

【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.

【详解】

根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则，

对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；

对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确；

对于C，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误；

对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确.

故选：ABD.

6、（多选）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路

【答案】ACD

【分析】

若设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，由求得首项，然后分析4个选项可得答案.

【详解】

解：设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，

因为，所以，解得，

对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；

对于B，由于 ，所以B不正确；

对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；

对于D，由于，所以D正确，

故选：ACD

7、已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______．

【答案】

【分析】

利用等比数列的通项公式以及等差中项求出公比即可求解.

【详解】

数列各项都是正数的等比数列

，，成等差数列，

则，

即，

可得，

解得或（舍去），

所以.

故答案为：

8、已知数列是各项均为负数的等比数列，，且，则______.

【答案】

【分析】

根据已知条件，求得数列的公比，结合等比数列的性质，即可求得结果.

【详解】

根据题意，得，

因为为等比数列，且数列为负项等比数列，

所以，，

又因为，所以.

所以.

故答案为：.

9、已知数列和满足a1a2a3…an＝ (n∈N*)，若数列为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列的前n项和Sn＝________.

【答案】

【分析】

先根据等比数列的性质可求出的公比，从而得到通项公式，再根据题目条件结合幂的运算法则和等差数列的前项和公式可求得bn＝，然后根据裂项相消法即可求出数列的前n项和．

【详解】

因为为等比数列，且a1＝2，a4＝16，所以公比q＝＝＝2，所以an＝2n，

所以a1a2a3…an＝21×22×23×…×2n＝＝.

因为a1a2a3…an＝，所以bn＝.

所以＝＝.

所以的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝2＝＝.

故答案为：．

10、已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.

【答案】

【分析】

可全部用进行代换，结合等比数列性质求解即可

【详解】

由题可知，，，则

故答案为

11、已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法求得.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，则，则，，

由于是和的等差中项，即，即，解得.

因此，数列的通项公式为；

（2），

.

12、已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

【解析】　(1)设数列{an}的公比为q，

因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.

因为a3＋2是a2和a4的等差中项，

所以2(a3＋2)＝a2＋a4.

即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.

因为公比q≠0，所以q＝2. 

所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).

(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，

所以anbn＝(2n－1)2n，

则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①

2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②

由①－②得，

－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，

所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.