选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计

这是一份选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计，共10页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时4等比数列前n项和公式的综合应用
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法(一)
6.数列求和的方法(二)
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子(如购房房贷、人口增长等),也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上课之前,我们每位同学可以拿出一张纸来,我们先来在纸上画一个正方形,边长为,然后取正方形各边中点,作第二个正方形,然后再取正方形各边中点,作第三个正方形,我们先画这三个正方形,请问这三个正方形的面积依次是多少?
生:25平方厘米,平方厘米,平方厘米.
师:很好！这三个面积的求算结果很容易得出,可以利用三角形中位线定理求新的正方形的边长,也可以利用三角形的面积等方法.同学们重点关注这三个数的排列,是不是构成了一个数列?什么数列?
生:等比数列,首项为25,公比为.
师:很好!那现在我们一起依此方法继续画下去,能不能求出来从正方形开始,连续10个正方形的面积之和?
【学生积极计算,交流讨论,教师指定同学回答并予以鼓励和肯定,总结归纳】
师:实际上就是求这个等比数列前10项和是多少,利用公式就可以解决了,这是复习了我们上节课的内容.那大家接下来再思考一下如果这个作图过程一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?这也就是我们今天这节课重点探讨的内容,等比数列前项和公式的综合应用问题.
【以学定教】
教师从学生实际出发,在熟悉的几何问题上深入探讨,引导学生的解题思路,培养学生的解题意识.
教学精讲
【典型例题】
利用等比数列的前项和公式求极限值
例1 如图,正方形的边长为,取正方形各边的中点,,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形开始,连续10个正方形的面积之和;
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?

师:这道题的第一问实际上是复习我们上节课的重点:等比数列的前项和公式.同学们重点思考一下第二问,从公式出发,如何判断当趋于无穷大时,的趋向?
【教师引导学生思考,动手演算,教师巡视检查看学生完成情况】
师:很明显公比,所以,代入数值后得到,随着的无限增大,将趋近于将趋近于50.由此,可以看到等比数列的前项和与其公比有什么关系呢?
【情境学习】
学生在特定的问题情境中,思考解题依据,通过具体问题理解等比数列的前n项和公式的概念和求解方法,更能加深印象.
【要点知识】
等比数列的前项和公式与其公比的关系
在等比数列的前项和公式中,如果令,那么,可利用这个式子求得前项和的极限值,也可作为判定数列是否为等比数列的方法.
前项和公式法:若,则是数列成等比数列的充要条件,此时.
师:同学们,上述这个式子可以看作是前项和公式的一个补充,当趋于无穷大时,如果趋于0,则前项和趋于,即.本节课学习重点是等比数列前项和的综合应用,刚刚讲解的例题是前项和的极值问题,接下来我们再重点研究一下等差数列和等比数列结合的应用问题.
【先学后教】
教师启发学生解题思路,学生先自主独立思考,然后教师总结整理答案,体现先学后教,更能使学生对知识理解深刻.
【典型例题】
等比数列前项和的应用
例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理,预计每年生活垃圾的总量递增,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加万吨.为了确定处理生活垃圾的预算,请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).
师:同学们,这道题目里边每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾又构成等差数列,因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.接下来先请同学回答一下这里面的等差数列和等比数列的通项公式.
【学生阅读教材,积极思考,计算演算、合作交流,教师指定同学回答】
生:,
师:很好!这道例题问的是通过填埋方式处理的垃圾总量,那么一年内通过填埋方式处理的垃圾量怎么表示?
【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视检查,并做总结讲解】
生:第1年是,第年是.
师:涉及到总量,所以应该是求和,所以应计算出年内通过填埋方式处理的垃圾总量.



.
计算得出,当时,.
【简单问题解决能力】
通过实际问题,利用等比数列前n项和公式解决问题,提升简单问题解决能力.
通过这个题,我们关键是得出一种求数列前项和的方法,针对这种既含有等差数列又含有等比数列的综合数列,我们可以采用分组求和法进行求解.
【要点知识】
求等比数列前项和的方法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.
【深度学习】
由综合问题启发学生将题目和知识进行联系,从中总结题目特点,整理出适用的方法,并将这种方法应用于其他情境上.
师:还有一类问题直接看不出是哪个数列模型,需要我们进行分析,利用递推公式或者等式两边同加同减某数,凑配出我们熟悉的数列模型.
【典型例题】
等比数列前顶和的应用
例3 某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为,
(1)写出一个递推公式,表示与之间的关系;
(2)将(1)中的递推公式表示成的形式,其中为常数;
(3)求的值(精确到1).
【情境学习】
在具体的实际应用问题情境中,体会其间蕴含的数学道理,将实际问题还原成数学语言.
【综合问题解决能力】
将实际问题还原成数学问题,在等差数列和等比数列综合的题目中,建立数学模型,培养学生的综合问题解决能力.
师:同学们,这道问题里边有没有直接能确定的数列模型?
生:没有,因为存栏数的增长率和卖出数也是相关的,这是一道等差和等比混合的数列问题.
师:而这个问题和上一道题不同,上一道题目我们可以直接将其中涉及的等差数列、等比数列的通项公式表示出来,再根据题意进行组合运算;这一道题目没有单独的等差数列、等比数列,所以我们需要先利用递推公式表示出每年的存栏数.该怎样列式呢?
生:由题意,得,并且.
师:从第一问得到的递推公式,我们试试看能不能把它改写成一个等比数列的形式?
生:将化成.
师:那对比这两个式子,我们可以得到关于和的方程
解得.所以递推公式可以改写为.现在你能看出这是个什么数列了吗?
生:这是数列,因为,所以,所以这个数列是以为首项,为公比的等比数列.
师:好的,所以我们就可以利用等比数列前项和公式去解决问题了.
.所以.
师:这道题目我们要注意的一个是这种较复杂的数列能不能从中提炼出熟悉的数列模型,另一个就是如果没有前两问的提示,我们能不能直接想到先列递推公式,再由递推公式改写成通项公式.同学们要细心体会,多加注意.接下来,我们再练习几道习题巩固一下.
【巩固练习】
等比数列前n项和公式的应用
1.某教育网站本月的用户为500人.网站改造后,预计平均每月的用户都比上一个月增加,那么从本月起,大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)?
2.一个乒乓球从高的高度自由落下,每次落下后反弹的高度都是原来高度的倍.
(1)当它第6次着地时,经过的总路程是多少(精确到)?
(2)至少在第几次着地后,它经过的总路程能达到?
3.某牛奶厂2015年初有资金1000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金后,剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)?
4.已知数列的前项和为,若,求.
【少教精教】
教师根据题目情境,设置问题,以提问、答问、讨论等方式双向或多向沟通思想,一步一步达到问题解决的结果并最终总结相关规律,教师少教,让学生多思考.
【课堂小结】
等比数列前项和公式的综合运用
1.等比数列前项和极限值问题.
2.等差数列和等比数列综合问题.
【设计意图】
通过对等比数列前n项和公式的学习和具体知识点的演练,提高学生的学科能力和学科核心素养.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.