人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时课时作业

4.3　等比数列

4.3.1　等比数列的概念

第1课时　等比数列的概念及通项公式

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021北京丰台高二期末)已知等比数列{an}满足a1=-1,a4=8,则a7等于(　　)

A.32 B.-32

C.64 D.-64

答案D

解析设等比数列{an}的公比为q,

则a4=a1q3=-q3=8,解得q=-2,

故a7=a1q6=-64.

2.(2021天津河西高二期末)数列1,-,-,…的一个通项公式为(　　)

A.-n-1 B.-n

C.(-1)nn-1 D.(-1)n+1n-1

答案D

解析根据数列的项可知该数列是一个以1为首项,-为公比的等比数列,

所以该数列的通项公式为1×-n-1=(-1)n-1×n-1=(-1)n+1×n-1.

3.(2021江苏启东高二期末)在等比数列{an}中,a5-a2=4,a4-a1=2,则公比q=(　　)

A.± B.±2

C. D.2

答案D

解析由

解得

4.在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于 (　　)

A.2 B.3

C. D.2

答案A

解析在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,

则=q3=8,则公比q=2,故选A.

5.(多选)(2020福建厦门一中高一月考)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{};③{};④{log2|an|}.其中一定为等比数列的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

答案AB

解析设等比数列{an}的公比为q,

则=q,故{2an}是等比数列;

=q2,故{}是等比数列;

取等比数列an=(-1)n,则{}的前三项为,2,,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an|}不成等比数列.

故选AB.

6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　　　. 

答案80,40,20,10

解析设这6个数所成等比数列的公比为q,

则5=160q5,∴q5=,∴q=.

∴这4个数依次为80,40,20,10.

7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=　　　　　　　. 

答案3·

解析由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.

8.在等比数列{an}中,若a1=,公比q=2,则a4与a8的等比中项是　　　　. 

答案±4

解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.

9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2 bn=an.

(1)求证:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明由log2 bn=an,得bn=.

因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,

则=2d(n≥2),2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.

(2)解由已知,得

解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式bn=·16n-1.

10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=λan+1n∈N*,λ∈R且λ≠-.求使数列{an+1}是等比数列的λ的值.

解若数列{an+1}是等比数列,则=μ(μ为非零常数),

即(λ-μ)an+2-μ=0,对于任意n∈N*恒成立,

则解得λ=2.

故当λ=2时,数列{an+1}是等比数列.

11.(2021湖北黄冈中学高三模拟)已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).

(1)求证:数列an+为等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵2an+1=6an+2n-1(n∈N*),∴an+1=3an+n-,

∴=3.

∵a1+=1+,

∴an+为等比数列,首项为,公比为3.

(2)解由(1)得,an+×3n-1=×3n,

∴an=×3n-.

关键能力提升练

12.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为(　　)

A.16 B.15

C.14 D.12

答案D

解析依题意,得解得

13.(2021江苏常州高二期中)数列{an}中,a1=,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=.

令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,

所以an=×n-1=n,故a6=6=.

14.(2021湖南长沙四校高二联考)在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则=(　　)

A. B.

C. D.1

答案A

解析由an+1-2an=0得=2,即数列{an}是以2为公比的等比数列,

则.

15.(2021广东广州高二期末)在等比数列{an}中,a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=(　　)

A.24 B.

C. D.-

答案B

解析设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-,因此a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=-×(-3)=.

16.(多选)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是(　　)

A.{k·an} B.

C.{an+bn} D.{an·bn}

答案BD

解析由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b1·,

对于A,当k=0时,{k·an}显然不是等比数列,故A错误;

对于B,,

∴数列是一个以为首项,为公比的等比数列,故B正确;

对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C错误;

对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n-1,

∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.

故选BD.

17.(多选)(2021江苏苏州高二期中)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是(　　)

A.若a3=-2,则≥8 

B.≥2

C.若a3=a5,则a1=a2 

D.若a5>a3,则a7>a5

答案ABD

解析若a3=-2,则≥2a2a4=2=8,当a2=a4=±2时,等号成立,故A正确;

因为≥2a3a5=2,当a3=a5时,等号成立,故B正确;

设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2==1,所以q=±1,当q=-1时,a1=-a2,故C错误;

设等比数列的公比为q,则q2>0,因为a5>a3,所以a5q2>a3q2,即a7>a5,故D正确.故选ABD.

18.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=　　　　. 

答案

解析依题意,得an=an+1+an+2,

所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,

解得q=.

19.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　　. 

答案32

解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.

20.(2021安徽亳州高二期末)已知数列{an}满足a1=,an+1=,若bn=-1,则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　　　　. 

答案2n-1

解析因为an+1=,所以-1,

所以-1=-2=2-1,而-1=1,且bn=-1.

所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,

所以bn=1×2n-1=2n-1.

21.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,

(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;

(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.

证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,

∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.

∴由=2知{an}是等比数列.

由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.

(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.

=2.∴数列{bn}是等比数列.

22.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.

(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;

(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即λ-32=λλ-4⇔λ2-4λ+9=λ2-4λ⇔9=0,矛盾.

所以{an}不是等比数列.

(2)解是等比数列,证明如下:因为bn+1=(-1)n+1·[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·an-2n+14

=-(-1)n·(an-3n+21)=-bn.

又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;

当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,

所以=-(n∈N*).

故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.

学科素养创新练

23.(多选)(2021湖北鄂州高二期中)在数列{an}中,如果对任意n∈N*都有=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k称为公差比.下列说法正确的是(　　)

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比

答案BCD

解析对于等差数列{an},考虑an=1,an+1=1,an+2=1,无意义,所以A选项错误;若等差比数列的公差比为0,=0,an+2-an+1=0,则an+1-an=0与题目矛盾,所以B选项正确;若an=-3n+2,则=3,数列{an}是等差比数列,所以C选项正确;若等比数列是等差比数列,则an=a1qn-1,q≠1,=q,所以D选项正确.

24.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.

解因为数列{cn+1-pcn}为等比数列,

所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),

将cn=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,

解得p=2或p=3.