高中数学第四章 数列4.3 等比数列精品课时作业

这是一份高中数学第四章 数列4.3 等比数列精品课时作业，文件包含432等比数列前n项和公式-2023-2024学年高二数学考点讲解练人教A版2019选择性必修第二册解析版docx、432等比数列前n项和公式-2023-2024学年高二数学考点讲解练人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

4.3.2 等比数列前n项和公式
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等比数列前n项和；等比数列前n项和的片段的性质；等比数列的奇偶和；等比数列前n项和的其它性质；前n项和的特点；前n项和与通项公式；等比数列的简单应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
等比数列的前项和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特点：
（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列（）．
6、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
④前项和法：为等比数列。
考点讲解



考点1：求等比数列前n项和
例1．已知数列为等比数列，，且是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．

【方法技巧】
（1）首先根据等差中项的性质列出等式，然后通过等比数列的基本量的计算列出方程，并解方程即可.
（2）首先根据题干条件，由（1）中的通项公式得到的通项公式，然后根据等比数列的前项和公式求得即可.

【变式训练】
1．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．
2．在等差数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)设为等比数列的前n项和，若，求的值．
4．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
考点2：等比数列前n项和的片段的性质
例2．设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧】
利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【变式训练】
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（　　）
A．50 B．100 C．146 D．128
2．若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（    ）
A． B．
C． D．
3．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
考点3：等比数列的奇偶和
例3．在等比数列中，，，求的值.
【方法技巧】
利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解.
【变式训练】
1．已知等比数列的公比，且，则___________.
2．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________.
3．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
考点4：等比数列前n项和的其它性质
例4．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值．

【方法技巧】
（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式.
（2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值.
【变式训练】
1．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ）
A．20 B．30 C．40 D．50
2．设为等比数列，设和分别为的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是（    ）
A．若，则不一定是递增数列 B．若，则不一定是递增数列
C．若为递增数列，则可能存在 D．若是递增数列，则一定成立
3．已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
考点5：前n项和的特点
例5．已知等比数列的前项和，则实数的值为______.
【方法技巧】
根据等比数列前项和公式的特点可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【变式训练】
1．一个等比数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
2．（多选）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（    ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．若，则
3．记为等比数列的前项和，已知，，则_______.

考点6：前n项和与通项公式
例6．在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧】
依题意可得是以为公比的等比数列，再根据求出的通项公式，即可得到方程组，解得即可.
【变式训练】
1．已知等比数列的前n项和，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和，则数列的前项和________.
3．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
考点7：等比数列的简单应用
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（    ）
A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里

【方法技巧】
1. 根据题意确定每天走的步数构成等比数列，根据数列的前7项和求解数列的首项，进而确定数列的第3项，即可得到此人第三天走的路程.
2.等比数列前n项和的应用
【变式训练】
1．标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成，从上到下分别对应视力4.0，4.1，……，5.2，5.3，且从第一行开始往下，每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍，若视力4.0的视标边长为1，则视力4.9的视标边长为（    ）
A． B． C． D．
2．5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（    ）
A． B．
C． D．
3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（    ）斗粟
A． B． C． D．
知识小结

等比数列的前项和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特点：
（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列（）．
6、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
④前项和法：为等比数列。
巩固提升


一、单选题
1．已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ）
A． B．2 C． D．3
2．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）
A．32 B．28 C．48 D．60
3．设等比数列 的前项和为，且，则（    ）
A．28 B．42 C．49 D．56
4．设等比数列的前n项和为，前n项的倒数之和为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
5．记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（    ）
A． B． C．2 D．3
6．观察下面数阵，

     
               
                               
．．．．．．
则该数阵中第行，从左往右数的第个数是（    ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，（），则（    ）
A． B． C． D．
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（    ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里

二、多选题
9．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（    ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C． D．
10．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．等比数列中，，，则_________.
12．在等比数列中，若，公比，前n项和为，则满足的最小值______．
13．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
14．对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.
四、解答题
15．记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．


16．在等比数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求.