高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品课后作业题

绝密★启用前

4.3.2等比数列的前n项和公式同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有     

A. 人 B. 人
C. 人 D. 人

2. 小张于年月号申请到了万的无息创业贷款，约定：年的月号开始还贷，每月还贷额比上一次多，于年的月号还清，则小张第一次应该还贷约为

注意：，，

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3. 公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米；当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟仍然前于他米当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟仍然前于他米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 

A.  B.  C.  D.

4. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了 

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

5. 已知等比数列的公比，其前项的和为，则与 的大小关系是   

A.  B.  C.  D.

6. 我国古代数学著作九章算术中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢，各穿几何意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢此时，各打洞多少两鼠相逢需要的天数最小为

A.  B.  C.  D.

7. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯

A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏

8. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的底层共有灯   

A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏

9. 中国古代数学著作算法统宗有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为

A.  里 B.  里 C.  里 D.  里

10. 古代数学名著九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，已知她天共织布尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于尺，该女子需要的天数至少为 

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

11. 设为等比数列的前项和，若，则

A.  B.  C.  D.

12. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了

A.  里 B.  里 C.  里 D.  里

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：所有规格的纸张的幅宽以表示和长度以表示的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为          ，这张纸的面积之和等于          ．
14. 小明为了观看年的冬奥会，他打算从起，每年的月日到银行存入元的一年期定期储蓄，若年利率为，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．年月日小明去银行继续存款元后，他的账户中一共有          元；到年的月日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回          元．化简后结果
15. 为了观看年的冬奥会，小明打算从年起，每年的月日到银行存入元的一年期定期储蓄，若年利率为，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期年月日小明去银行继续存款元后，他的账户中一共有          元；到年的月日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回          元．式子要整理成最简形式
16. 国家队男子足球某运动员一脚把球开到米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，

则第次着地时，该球所经过的总路程为          米；

则第次着地时，该球所经过的总路程为          米．

17. “垛积术”隙积术是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层件，以后每一层比上一层多件，最后一层是件已知第一层货物单价万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为          万元，若这堆货物总价是万元，则的值为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．

  用表示，，并写出与的关系式；

  若公司希望经过年使企业的剩余资金为万元，试确定企业每年上缴资金的值用表示．






 

19. 某牧场今年初兔子的存栏数为只，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出只兔子设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为

写出一个递推公式，表示之间的关系；

将中的递推公式表示成，其中，为常数；

求的值．






 

20. 一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的倍．

当它第次着地时，经过的总路程是多少精确到？

至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？






 

21. 运输公司年有万辆公交车，计划年投入辆新型号公交车，以后每年投入的新型号公交车数量均比上年增加．

年应投入多少辆新型号公交车？

从年到年间共投入多少辆新型号公交车？

从哪一年开始，该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的？






 

22. 对于由个正整数构成的有限集，记，特别规定若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，，使得成立，则称集合为“满集”．

分别判断集合与是否是“满集”，请说明理由．

若，，，由小到大能排列成首项为，公比为 的等比数列，求证：集合是“满集”．






 

23. 已知公比小于的等比数列中，其前项和为，，．

求；

求证：．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数学文化及等比数列求和，属于中档题．
根据题意把等比数列抽象出来，确定首项和公比，再利用等比数列求和公式计算即可．

【解答】

解：由题意可得将官、营官、阵官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，
且首项为，公比也是，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
人，
故选D．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的应用，等比数列的求和公式，属于基础题．
由题意小张第一次应该还贷万元，由等比数列的求和公式得出，从而求出的值．

【解答】

解：设小张第一次应该还贷万元，则小张每月还贷额成等比数列，首项为，公比为，
所以依题意，，
于是万元．
故选B．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的实际应用，属于基础题．
由乌龟每次爬行的距离构成公比为等比数列，利用等比数列的求和公式求解即可．

【解答】

解：根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为，

当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

．

故选．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．
由题意得：每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．

【解答】

解：由题意得，每天行走的路程成等比数列，且公比为，
天后共走了里，
，
解得，
第二天走了里
故选C．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，属于基础题．
将两个式子作差，利用等比数列的前项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小关系．

【解答】

解：

．
，，
，．
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的前项和，属基础题．
将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列，，它们的前项和分别为，，令，求即可．
【解答】
解：设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，
它们的前项和分别为，，
则是以为首项，为公比的等比数列，
是以为首项，为公比的等比数列，
故，．
令，即，解得，
故选．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前项和公式的实际应用，属于基础题．
设这个塔顶层有盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前项公式列出方程，求出的值．
【解答】
解：设这个塔顶层有盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以为公比、为首项的等比数列，
又总共有灯盏，
，
解得，
则这个塔顶层有盏灯．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的应用，属于中档题．
由题意得到各层灯数构成等比数列，公比，，根据等比数列的求和公式，得到底层的灯数．
【解答】
解：依题意，设底层灯数为，从底层往上各层灯数构成等比数列，公比，，
，
，
，
塔的底层共有灯盏．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
每天走的路形成等比数列，，利用求和公式即可得出．
【解答】

解：每天走的路形成等比数列，，．
，解得．
该人最后一天走的路程．
故选：．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式及其前项和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
先设等比数列，由题意，，，求得，再由等比数列求和公式可得．

【解答】
解：设该女子第一天织布尺，
则  ，

解得  ，

前天所织布的尺数为 ，

由  ，得，

则的最小值为．

故选B．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的相关性质，属于基础题．
根据题意设数列的公比为，由题目已知可求得，从而可得的值．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
，，解得，
，
故选B．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．
由题意得：每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【解答】
解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，
第此人二天走里，
第二天走了里，
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的实际应用，考查等比数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意依次求得的长、宽的值，可得纸的面积；再由等比数列的前项和求张纸的面积之和．
【解答】
解：根据题意，的长、宽分别为是；
的长、宽分别为；
的长、宽分别为；
的长、宽分别为；
的长、宽分别为．
纸的面积为；
，，，，纸张的面积构成以为首项，以为公比的等比数列，
则这张纸的面积和为．
故答案为：；．  

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，涉及等比数列求和，属于基础题．
根据题意可得年继续存款元后，账户共有元；
由题意可得年月日可取出钱的总数为，根据等比数列求和，即可求解．

【解答】

解：依题意，年月日存款元后，账户中一共有元．
年月日可取出钱的总数为：



．
故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，涉及等比数列求和，属于基础题．
年月日存款元后，账户中一共有元，年月日可取出钱的总数为，根据等比数列求和公式，即可求解．

【解答】

解：依题意，年月日存款元后，账户中一共有元．
年月日可取出钱的总数为



．
故答案为；．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的应用，等比数列的求和，是一般题．
根据题意分析足球每次落地经过的总路程，找到等比数列规律，再求和即可．

【解答】

解：足球第次落地经过的路程为
足球第次落地经过的路程为
足球第次落地经过的路程为
足球第次落地经过的路程为


足球第次落地经过的路程为
．
故答案为

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题以数列的实际问题为背景，考查等比数列的通项公式及求和公式，错位相减法求和，考查运算能力，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题，由题意可得第层的货物价格为，根据错位相减法求和即可求出．
【解答】
解：由题意可得第层的货物单价为万元，
故第层的货物的价格为 万元，
设这堆货物总价是 ，
则 ，
由可得 
，
所以，
这堆货物总价是 万元，
．
故答案为； ．  

18.【答案】解：由题意，得，，．
由，得整理，得．
由题意，得，即．
解得．
故该企业每年上缴资金的值为时，经过年企业的剩余资金为万元．
 

【解析】本题考查数列的实际应用，属于中档题．
依题意用表示，，并写出与的关系式；
用迭代法求，由题意，得，即，解得即可．
 

19.【答案】解：
由题意，可得，并且 

化成，
比较的系数，可得
解得：
所以中的递推公式可化为．

由可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以．
 

【解析】 主要考查了等比数列的应用，等比数列的求和公式，属于中档题 
由题意，可得；
原式可化为，结合可求出，，从而可得结论；
由可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式可得答案．
 

20.【答案】解：设小球从上次着地到下次着地经过的路程为数列的项构成等比数列，，
数列中，从二项起，构成等比数列，公比，
；
设次后路程超过，则有，
解得，
故至少在第次着地后，它经过的总路程能达到．
 

【解析】本题考查等比数列求和问题，依题意设出等比数列，然后根据题意求和即可，属于基础题．
设小球从上次着地到下次着地经过的路程为数列的项构成数列，数列中，从二项起，构成等比数列，公比，利用等比数列的求和公式求解；
求解即可．
 

21.【答案】解：设从第年开始第年投入的车辆数为，
可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，
因此，年应投入辆新型号公交车；
设等比数列的前项和为，
则，
因此，从年到年间共投入辆新型号公交车；
由等比数列的前项和公式得：
，
由题意可得，得，
即，化简得，
，，
．
因此，从年开始，该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的．
 

【解析】本题考查等比数列的实际应用，属于中档题．
设从第年开始第年投入的车辆数为，计算即可；
由题意即为求；
由题意可得，由此可算出的最小值．
 

22.【答案】解：集合是“满集”，集合不是“满集”理由如下：
对于集合，，且共有个子集：，，，，
当分别取，，时，有，，
，
故集合是“满集”；
对于集合，，且共有个子集：，，，，
当时，不存在的两个子集，，使得，
故集合不是“满集”．
证明：由题设，可得，
，
对任意，
，存在，，，使得，
同理有，，，其中，，，经过有限次的操作后，必存在，
，

当  时，，

此时取 ，，

则有 ．

由此，集合  是“满集”．

【解析】本题主要考查集合中新定义题型中的综合应用，属于难题．
根据“满集”的定义，可知集合是“满集”，集合不是“满集”，然后利用定义说明理由即可；
由题设，可得，，然后根据“满集”的定义证明结论即可．
 

23.【答案】解：设等比数列的公比为．

由得解得或舍去，所以．

证明：由得，所以．

因为在上为减函数，且恒成立，

所以当，即时，，所以．

【解析】本题考查了等比数列的通项公式与前项和公式的应用，属于中档题．
设等比数列的公比为，列方程组求解首项与公比，即可求解通项；
根据等比数列前项和公式可知，根据函数性质即可证明．