高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品精练

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4.3.1 等比数列的概念
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：等比数列的定义；等比中项；判断等比数列；等比数列的通项；等比数列的性质；正项等比数列的对数成等差数列的应用；等比数列通项公式的指数函数特性；等比数列的写单调性；等比数列中最大（小）项；利用等比数列通项公式求数列中的项

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．
（2）、通项公式的变形：①；②．
3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
4、等比数列性质
若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则．
5、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；

考点讲解



考点1：等比数列的定义
例1．若数列为等比数列，，，则公比（    ）
A．-4 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等比数列定义进行求解.
【详解】由题意得：
故选：C

【方法技巧】
（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
【变式训练】
1．下列各组数成等比数列的是（    ）
①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义进行判断.
【详解】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列.
故选：C.

2．若－1，2，a，b成等比数列，则______．
【答案】4
【分析】根据等比数列的定义列式求出即可得解.
【详解】根据题意，有，
解得，，所以．
故答案为：4
3．已知等比数列中的前三项为、、，则实数的值为______．
【答案】
【分析】根据等比数列的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为为与的等比中项，所以，解得.
故答案为：.

考点2：等比中项
例2．在等比数列中，，则和的等比中项为________．
【答案】
【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.
【详解】设与的等比中项为，
因为，所以，所以.
故答案为：

【方法技巧】
等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
【变式训练】
1．若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（    ）．
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列
【答案】C
【分析】根据等比中项的性质可得，可得当时，，结合对数运算，即可判断答案.
【详解】由题意可知不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，即 ，
故当时， ，即，
故，，各项的倒数依次成等差数列，
故选：C
2．“”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
【答案】A
【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可
【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件
故选：A
3．已知等比数列的各项均为正数，且，则________．
【答案】81
【分析】由等比中项公式可得，即可求
【详解】由等比中项公式得，，故.
故答案为：81

考点3：判断等比数列
例3．数列满足，且，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算求得的关系式，判断是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于，
所以，所以，
所以数列是公比的等比数列.
由于，所以，
所以.
故选：C
【方法技巧】
（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
【变式训练】
1．下列数列是等比数列的是（    ）．
A．1，1，1，1，1 B．0，0，0，0，…
C．，，，… D．，，1，，…
【答案】AC
【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确；
B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误；
C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确；
D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
2．设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】设数列的首项为，公比为q，由等比数列的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】设数列的首项为，公比为q．
对于A，，所以数列是公比为q的等比数列；
对于B，，所以数列是公比为的等比数列；
对于C，，所以当时，，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时，，,不是一个非零常数，所以数列不是等比数列．
故选：AB．
考点4：等比数列的通项
例4．在数列中，，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列，
∴．
故选：B．
【方法技巧】
由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论．
【变式训练】
1．设等比数列满足.则通项公式________．
【答案】
【分析】把数列的项，分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.
【详解】设的公比为，则.
由已知得，解得，，所以的通项公式为.
故答案为:
2．已知等比数列的公比，则__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比即可求解作答.
【详解】在等比数列中，，由得：，即有，
因，则，即有，解得，，
，所以.
故答案为：
3．在正项等比数列中，，，则通项公式________．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为（），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出其通项公式.
【详解】由题意设等比数列的公比为（），，
因为，，
所以，
由，得，
所以，或（舍去），
所以将代入，得
，即，
解得或（舍去），
所以，
所以，
故答案为：
考点5：等比数列的性质
例5．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（   ）
A．成等比数列 B．成等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
【答案】D
【详解】由等比数列的性质得，
因此一定成等比数列．
故选：D.

【方法技巧】
根据等比数列的下标等和性质，结合等比数列的概念直接判断即可.
【变式训练】
1．设是等比数列，且，，则（    ）
A．12 B．24 C．32 D．48
【答案】D
【分析】根据是等比数列，且满足，，计算出其通项公式，然后代入计算即可.
【详解】是等比数列，设其公比为，则由，得：
，解得，，.
故选：D.
2．已知1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】由等比数列和等差数列的性质结合已知条件可求出和的值，从而可求得答案.
【详解】∵1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，
∴，，，
则．
故选：B．
3．在等比数列中，若，则________．
【答案】32
【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出公比，从而可求出.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：32
考点6：正项等比数列的对数成等差数列的应用
例6．设等比数列满足，则___________.
【答案】
【详解】因为等比数列满足，所以，
又，解得，故，，所以.
故答案为：

【方法技巧】
由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解.
【变式训练】
1．在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
2．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
【答案】
【分析】由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.
【详解】由题意，，由等比数列的性质可得，解得，
∴，解得，
，则，则数列为等差数列，
，故，
，
故答案为：
考点7：等比数列通项公式的指数函数特性
例7．等比数列为递减数列，若，，则（    ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】∵等比数列为递减数列，，，
∴与为方程的两个根，
解得，或，，
∵，∴，，
∴，
则，
故选:A.

【方法技巧】
，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.
【变式训练】
1．已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得，再由，即可得结果.
【详解】由题设，，则且q＝2，则，
而.
故选：B
2．若等比数列的前n项和为，则______．
【答案】
【分析】现根据前n项和与通项之间的关系求，再结合等比数列理解运算.
【详解】∵
当时，则
当时，则
∵为等比数列，则，整理得：
故答案为：.
考点8：等比数列的写单调性
例8．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．
【答案】12
【详解】根据等比数列的性质可得：，显然单调递减，
当得：，
当得：，
所以只需比较与1的远近即可，
因为，，，
所以比离1近，
故答案为：12
【方法技巧】
求出等比数列的通项公式，根据数列的单调性确定只需比较与1的远近即可，利用作差法比较即可.

【变式训练】
1．已知无穷等比数列的首项是，公比是，若对任意正整数n恒成立，则下列结论正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到数列为递减数列，且，AC选项可举出反例，写出通项公式后得到D选项各项均为正，B选项各项均为负，选出正确答案.
【详解】因为对任意正整数n恒成立，
所以无穷等比数列为递减数列，且，
A选项，，，则，不满足要求，A错误；
B选项，，满足要求，
C选项，，不满足要求，C错误；
D选项，，不满足要求，D错误.
故选：B
2．设是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若且，则，所以，，则，
所以，“”“”；
另一方面，取，则，但，
即“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
考点9：利用等比数列通项公式求数列中的项
例9．在等比数列中，公比，若，则______．
【答案】
【详解】等比数列中，公比，所以.
故答案为：.
【方法技巧】
根据等比数列通项公式计算可得.
【变式训练】
1．若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（    ）
A．18 B．36 C．54 D．162
【答案】C
【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解
【详解】若等比数列的首项为，公比为，则它的通项，
由已知可得：，，
则该数列的第4项．
故选：C．
2．已知为等比数列，，则（    ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质计算出，进而求得的值．
【详解】∵为等比数列，设公比为q，由，
则可得：
，则，则
，则，则
故选：C.
3．已知数列满足，，则______．
【答案】
【分析】令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，求出的通项公式即可求出.
【详解】因为，且，所以令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．
故答案为：.

知识小结

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．
（2）、通项公式的变形：①；②．
3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
4、等比数列性质
若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则．
5、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
巩固提升


一、单选题
1．在等比数列中，若，，则（    ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】求出公比，进而利用等比数列的性质计算出.
【详解】设公比为，则，所以，

故选：A
2．在等比数列中，，则公比为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】A
【分析】由可求出公比的值.
【详解】由知，，解得，.
故选：A.
3．等比数列中，，，则（    ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】设的公比为，则，，
故选：C
4．设A和G分别是a、b等差中项和等比中项，则的值为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用等差中项和等比中项的定义得到，，再利用计算出结果.
【详解】由题意得：，，

故选：D
5．已知等比数列的公比，则（    ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式化简求解即可.
【详解】解：因为等比数列的公比，
所以.
故选：B.
6．已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（    ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用对数运算性质、等比中项可得且，根据已知有，即可求公比.
【详解】令公比为，
由，故且，
所以，则，
又，则，
所以，
综上，.
故选：A
7．已知等比数列满足，，则（    ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式求得公比，然后再由通项公式计算．
【详解】设的公比为，则，解得（负值舍去），
所以．
故选：C．
8．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设构成的等比数列为，公比为，，接着利用等比数列的通项公式即可得到答案
【详解】解：由题意可得构成的等比数列为，其公比为，则，
所以，解得，
故选：C

二、多选题
9．在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（    ）
A．an＝3n，n∈N＋ B．an＝3n－1，n∈N＋ C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D．an＝2n－1，n∈N＋
【答案】AC
【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，
当时，.当时，.
故选：AC
10．（多选）若是等比数列，则下列是等比数列的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据等比数列的定义，依次判断选项.
【详解】设的公比为q，则，
A. （常数），故A正确；
B. 若q＝－1，则．（等比数列的各项不能为0），故B错误；
C. （常数），故C正确；
D. （常数），故D正确.
故选：ACD

三、填空题
11．已知数列中，对成立，且，则__________.
【答案】
【分析】由等比数列的通项公式代入即可得出答案.
【详解】因为对成立，所以，
所以数列是公比为的等比数列，
所以.
故答案为：
12．在等比数列中，，，则______．
【答案】3
【分析】由等比数列通项公式的基本量计算．
【详解】由已知，，所以，，．
故答案为：3．
13．正项数列满足，则=_________.
【答案】
【分析】先对变形得到，设，求出，得到为等比数列，求出答案.
【详解】因为，所以，
即，设，则，
解得：或，
因为为正项数列，所以，故，
所以为等比数列，首项为2，公比为2，
所以
故答案为：
14．已知数列，，，则数列的通项公式为______.
【答案】##
【分析】根据构造法可得是等比数列，进而可求，即可求解.
【详解】由得，又
故是以公比为2的等比数列，且首项为，因此，故,
故答案为：

四、解答题
15．在各项均为负的等比数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否为该数列的项？若是，为第几项？
【答案】(1)；
(2)是该数列的项，为第6项.

【分析】（1）从等比数列概念出发得出，再代入等式解出，最后写出通项即可.
（2）利用第（1）中的通式，代入，解出即可.
（1）
因为，所以,数列是公比为的等比数列,
又，所以,
由于各项均为负，故，.
（2）
设，则，，，
所以是该数列的项,为第6项.
16．数列满足.
(1)若，求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由证得为等比数列.
（2）先求得，然后求得.
（1）
由于，
所以，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）
由（1）得，
所以.

考点讲解