人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀当堂达标检测题

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4.4数学归纳法
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：数学归纳法证明恒等式；数学归纳法证明整除问题；数学归纳法证明数列问题；数学归纳法证明其它问题；数学归纳法证明解决探究问题

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当 n＝n0 时命题成立；
（2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没
有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对 n0+1，
n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定
理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
考点讲解
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．

考点1：数学归纳法证明恒等式
例1．用数学归纳法证明.
【答案】详见解析
【详解】证明：（1）当n=1时，左边=1-x，右边=1-x=左边，等式成立；
（2）假设n=k时，等式成立，即，
当时，，
，
，
，
故当时，等式成立，
由（1）（2）可知，原等式对于任意成立.
【方法技巧】
由n=1时，等式成立，假设n=k时，等式成立，再证得时，等式成立即可.
【变式训练】
1．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
2．用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.
【答案】3
【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可
【详解】由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3.
故答案为：3
3．用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【答案】证明见解析
【分析】根据数学归纳法的步骤即可完成证明
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，

．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
考点2：数学归纳法证明整除问题
例2．用数学归纳法证明：可以被7整除.
【答案】证明见解析．
【详解】证明：（1）时，，能被7整除，
（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），
则时，，是正整数，所以能被7整除，
所以时，命题成立，
综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．

【方法技巧】
用数学归纳法证明．
【变式训练】
1．已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为______．
【答案】36
【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明．
【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除，
（1）时，是36的整数倍，
（2）假设时，是36的整数倍，即（），
时，
，
由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍，
所以是36的整数倍，
综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而，
所以是最大的数，即．
故答案为：36．
2．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
【答案】见解析
【分析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.
【详解】证明：（1）当时，，能被9整除，
故当时， 能被9整除．
（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，
则当时，也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．
【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题.
考点3：数学归纳法证明数列问题
例3．设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式；
(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和．
解：（1）因为数列满足，，
所以，
，
由此可猜想
（2）证明：①当时，显然成立，
②假设当时，成立，即，则
当时，


，
所以时也成立，
综合①②可得，
因为，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以

【方法技巧】
（1）根据已知条件，结合递推关系求出，从而可猜想出通项公式，
（2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结果
【变式训练】
1．在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项求出，的关系，然后求出，，的值，化简表达式的分子与分母，然后猜想结果．
【详解】由题意可知．当时，，
时，，．
，，分别为：、、．
猜想当时，．
故选：B
2．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
3．先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：．
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此猜想．
证明：①当时，猜想显然成立；
②假设（且）时，猜想成立，即
，
那么时，




．
所以当时，猜想也成立．
由①②知，猜想都成立．
5．在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
(1)计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）中的猜测．
．解：(1)令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
(2)当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
考点4：数学归纳法证明其它问题
例4．已知，，，，则有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，，，即可求解.
【详解】由，，可知
第一项为
第二项为
第三项为
以此类推第项为
故选C.

【方法技巧】
本题主要考查了学生归纳的能力，通过前几项具有的规律去推测整体的规律，属于基础题.

【变式训练】

1．已知，用数学归纳法证明时，比多了______项．
【答案】
【分析】作差分析可得答案.
【详解】因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
2．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
【答案】
【分析】由数学归纳法的证明过程可得答案，注意在为正偶数即可.
【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立，
即成立
由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.
所以应证明当时，等式也成立
故答案为：
【点睛】本题考查数学归纳法的证明过程，属于基础题.
3．已知函数，记为的导数，.
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.
【答案】（1），（2），证明见解析
【解析】（1）由为的导数，先求的导函数，再求值即可；
（2）由（1）猜想，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】解：（1）因为，则，，
（2）猜想：.
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（且）时，结论成立，即.
当时，

.
所以当时，结论成立.
所以由①②可知对任意的结论成立.
【点睛】本题考查了函数的导函数的求法，重点考查了数学归纳法，属中档题.
考点5：数学归纳法证明解决探究问题
例5．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【详解】当时，，不合要求，舍去
当时，，不合要求，舍去；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
下证：当时，成立，
当时，成立，
假设当时，均有，解得：
当时，有，
因为，
所以成立，
由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，
故选：CD

【方法技巧】
先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.

【变式训练】
1．已知存在常数，使等式对都成立，则______．
【答案】5
【分析】用特殊值法，如取代入计算．
【详解】由题意时，，，
故答案为：5
2．请观察下列三个式子：
①；
②；
③．
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明．
【答案】，证明见解析
【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明．
【详解】．
证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边．
②假设当时，命题成立，
即；
则当时，

，
所以当时命题立，由①②知，命题成立．
3．是否存在常数使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【详解】分析：先由时求得的值，然后用数学归纳法进行证明．
详解：分别令，可得，解得．
故猜想等式对一切正整数都成立.
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上面的探求可知等式成立．
②假设时猜想成立，
即．
当n=k＋1时，



．
所以当n=k＋1时，等式也成立．
由①②知猜想成立，即存在使命题成立．
点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少；
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设．证题时要根据要求正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

知识小结

1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当 n＝n0 时命题成立；
（2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没
有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对 n0+1，
n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定
理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
巩固提升


一、单选题
1．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D
2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【答案】D
【分析】得和时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数.
【详解】当时，不等式左边的最后一项为，而当时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加，所以增加了项.
故选：D
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（    ）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项.
【详解】由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
故选：B
4．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（    ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】D
【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
5．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出与时的结论，即可得到答案．
【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边,
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是，
故选：．
6．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
7．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是（    ）
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【答案】B
【分析】将n＝1代入，可得左边计算的结果．
【详解】当n＝1时，左边计算得出
故选：B
8．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（    ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加的代数式是
【答案】D
【解析】根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.
【详解】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.
故选:D.
【点睛】本题考查数学归纳法证明中的关键步骤，关键要清楚不等式左边的和式的结构特征，特表要注意首项，末项和项数的变化情况.

二、多选题
9．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
10．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.
【详解】当时，，不合要求，舍去
当时，，不合要求，舍去；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
下证：当时，成立，
当时，成立，
假设当时，均有，解得：
当时，有，
因为，
所以成立，
由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，
故选：CD

三、填空题
11．已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.
【答案】2k
【分析】由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k＋1)进行比较可得答案
【详解】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.
故答案为：2k
12．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________．
【答案】
【分析】写出和时的两个式子，作差（或比较）可得．
【详解】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了
，
故答案为：．
13．平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．
【答案】
【分析】根据题中已知可得出第条直线和前条直线都相交时交点数最多，可得答案.
【详解】由已知，平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，
即第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，此时交点数最多，
交点数为，
故答案为：
14．计算前几项：1，2＋3＋4，3＋4＋5＋6＋7，…各项的值，可以猜想第n个式子为______．
【答案】
【分析】直接由数学归纳法猜想得出结果即可.
【详解】，猜想第n个式子为.
故答案为：.

四、解答题
15．已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1);
(2)证明见解析.

【分析】（1）分别将、2、3代入递推式中求，进而总结归纳出的表达式；
（2）应用数学归纳法，首先判断时是否成立，再假设时成立，最后结合已知条件推导出时成立即可.
(1)
时，，则，
时，，则，
时，，则，
猜想.
(2)
由（1）得：时，成立．
假设时，成立，
那么当时，，而，
所以，即，
故时，也成立．
综上，对一切n∈N*，都成立，得证．
16．在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：.
【答案】(1)，猜想：，证明见详解
(2)证明见详解

【分析】（1）根据题意可得：，，分别令求解，猜想：，利用数学归纳法证明猜想；（2）利用进行放缩，结合裂项相消证明．
(1)
根据题意可得：，
令，则，，可得
令，则，，可得
令，则，，可得
猜想：
当，，成立
假定当，
当时，，即，则
，即，则成立
∴
(2)


即