高中数学4.3 等比数列精品一课一练

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4．3．2 等比数列的前n项和公式
【题型归纳目录】
题型一：等比数列前项和的有关计算
题型二：等比数列前项和在几何中的应用
题型三：等比数列前项和的性质
题型四：递推公式在实际问题中的应用
题型五：利用错位相减法求数列的前项和
题型六：等比数列前n项和公式的实际应用
题型七：等比数列中与的关系
题型八：等比数列片段和的性质
题型九：等比数列的奇数项与偶数项和
【知识点梳理】
知识点一、等比数列的前项和公式
等比数列的前项和公式

推导过程：
（1）利用等比性质
由等比数列的定义，有
根据等比性质，有
所以当时，或．
（2）错位相减法
等比数列的前n项和，
①当时，，；
②当时，由得：



所以或．
即
知识点诠释：
①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．
②在求等比数列前项和时，要注意区分和．
③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．
知识点二、等比数列前项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．
知识点三、等比数列前项和的性质
1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．
2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．
3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．
【题型归纳目录】
题型一：等比数列前项和的有关计算
题型二：等比数列前项和在几何中的应用
题型三：等比数列前项和的性质
题型四：递推公式在实际问题中的应用
题型五：利用错位相减法求数列的前项和
题型六：等比数列前n项和公式的实际应用
题型七：等比数列中与的关系
题型八：等比数列片段和的性质
题型九：等比数列的奇数项与偶数项和
【典型例题】
题型一：等比数列前项和的有关计算
例1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）设等比数列的前项和为，若，则公比（    ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】等比数列的前项和为，由得：，
而，则有，解得，
所以.
故选：C
例2．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）设等比数列的前项和为，公比，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，不成立；
当时，，即，解得，
.
故选：A
例3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（    ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【解析】当q=1时，，满足.
当时，由已知可得，
，显然，.
所以，有，解得，q=1（舍去）或.
综上可得，q=1或.
故选：C.
变式1．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（    ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】A
【解析】由，有，即，
由等比数列的通项公式得，即，解得或，
由数列为正项等比数列，∴ .
故选：A
变式2．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
变式3．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（    ）
A． B．32 C．64 D．
【答案】B
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知，
因为S3=，S6=，
所以，
解得，
所以.
故选：B
变式4．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以 ，，
由等比中项得，解得，
所以解得，，
所以.
故选：B.
【方法技巧与总结】
等比数列前n项和运算的技巧
（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．
（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
题型二：等比数列前项和在几何中的应用
例4．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，则前个内切圆的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设第个正三角形的内切圆半径为，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
所以，，，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前个内切圆的面积和为，
则，
故选：B.
例5．（2022·全国·高二专题练习）如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设第n个正三角形的内切圆半径为，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前n个内切圆的面积和为，
则=，
故选：B
例6．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察图形可知后一个三角形的面积是前一个的，
设第n个三角形的面积为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
第2020个三角形面积为.
故选：B.
变式5．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（    ）

A．数列是公比为的等比数列 B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和
【答案】BD
【解析】由图可知，
所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故A错误；
则，由题可得，
所以，故B正确；
因为，所以数列是公比为的等比数列，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
变式6．（2022·全国·高二单元测试）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为______．

【答案】
【解析】是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以即，
所以，
因为在上单调递减，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次数的最小值为次，
故答案为：.
变式7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.

【答案】
【解析】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，
则第个等腰直角三角形的腰长为，且.
第个正方形的边长为，
，，
，
且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
.
【方法技巧与总结】
此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性．
题型三：等比数列前项和的性质
例7．（2022·河南信阳·高二期中（理））一个等比数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，则，显然与题设不符；
∴，即等比数列不是常数列，
∴，则，可得．
故选：B．
例8．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（    ）
A．一定单调递减 B．一定单调递增
C．式子-≥0恒成立 D．可能满足=，且k≠1
【答案】D
【解析】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，
所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；
由0＜q＜1，＜0知，
所以，故一定单调递减，故A正确；
因为当时，，，所以，即-，当时，
，综上，故C正确；
若=，且k≠1，则，即，因为，故，
故矛盾，所以D不正确.
故选：D
例9．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，因为，所以，则与矛盾，
若，因为，所以，则，与矛盾，
所以，故B正确；
因为，则，所以，故A错误；
因为，，所以单调递增，故C错误；
因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；
故选：B
变式8．（2022·全国·高二课时练习）若等比数列的前项和，则等于（    ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，；当时，.
由于数列是等比数列，适合，，解得.
故选C.
变式9．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，,,
故当时，,
数列是等比数列,
则，故,
解得,
故选.
变式10．（2022·吉林·辉南县第六中学高二期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（    ）
A．   B．
C． 是数列中的最大值   D．数列无最大值
【答案】A
【解析】根据题意，等比数列中，，则有，有，
又由0，即 ，必有， 由此分析选项：
对于A， ，故 ，A正确；
对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误；
对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误；
对于D，由C的结论，D错误；
故选：A.
变式11．（2022·全国·高二）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】C
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
变式12．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则，又，显然不满足条件，
所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，
当时，即，
当时，所以
又，所以，解得．
故选：D
【方法技巧与总结】
处理等比数列前项和有关问题的常用方法
（1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
（2）灵活运用等比数列前项和的有关性质．
题型四：递推公式在实际问题中的应用
例10．（2022·湖南·高二期末）年月日日，备受瞩目的年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设年株洲轨道产业的年利润为百亿元，预计从年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少百亿元，设从年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为、、、.
(1)请用一个递推关系式表示与之间的关系．
(2)证明：数列为等比数列．
(3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．
【解析】(1)由题意可得．
(2)证明：，，，，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．
(3)由（2）可知，即．
令，，得，
所以预计年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．
例11．（2022·全国·高二单元测试）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．
（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）由题意可得，，
∵，
∵，
∴，，
∴，数列是以250为首项，以为公比的等比数列，
∴，，
令可得，
∴，
从而可得，，
故，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；
（2），
，
，
两式相减可得，，
，
∴．
例12．（2022·全国·高二课时练习）某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．
（参考数据：，，）
【解析】（1）依题意，，整理得：，
，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，

∴2029年初资金翻再现两番
∴，解得，
所以的最大值是84．
变式13．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，则第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系如下：；
(1)证明是等比数列并求通项公式；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）
【解析】（1），
，
又，所以，
是以为首项，为公比的等比数列；
，
；
（2）由（1）得，
∴，两边取常用对数得：，
所以，
∴．
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
变式14．（2022·上海市松江二中高一期末）在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）
【解析】(1)由题意可得，且，则，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
(2)设数列、的前项和分别为、（单位：万元），
则数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，
，
可得.
所以，每年应至少发放元的交通补贴.
变式15．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若且，求数列的前项和.
【解析】（1）证明：因为，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，，所以.
因为，当时，，所以，
当时，也符合，所以，所以，
所以，①
，②
①-②，得，
所以.
【方法技巧与总结】
用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．
题型五：利用错位相减法求数列的前项和
例13．（2022·陕西·西安市第七十五中学高二期中（文））已知数列的前项和为，且.在数列中， ，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）当时，；
当时，
所以，
经检验：
因为
所以
其中
所以数列是以为首项，为公比的 等比数列
得
所以
（2）由（1）可知
所以
得
两式相减得
整理得
所以，显然
所以
例14．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．
【解析】（1）当n＝1时，，解得：．
当时，由得：，
因此，，又，
∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，
因此，的通项公式．
（2）依题意得：，，
∴，
两式相减，得：
，，因此，．
例15．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．
(1)求数列，的通项和；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为是与2的等差中项，
所以，即，
则，
当时，，
从而，
则等比数列的公比，
故；
因为，点在一次函数的图象上，
所以，即等差数列的公差为2，
从而.
（2）由，
得：...①
...②
①-②得，
，
从而.
变式16．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知等差数列满足：数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得：，
所以，
因为，所以，
所以为等比数列，公比为3，首项，
所以；
（2），
所以，
则，
两式相减得：，
所以.
变式17．（2022·江苏·星海实验中学高二阶段练习）已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，
两式相减可得：，
所以，所以
所以，又因为，
所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以①
（2）当时，，
所以，
当时，，
所以，
则①，
②，
①②得：，
，
，
所以
又因为当时，，
所以.
【方法技巧与总结】
错位相减法的适用范围及注意事项
（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和．
（2）注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况．
题型六：等比数列前n项和公式的实际应用
例16．（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（    ）
（参考数据：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为，第三次操作去掉的线段长度和为，…，第操作去掉的线段长度和为，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故选：A．
例17．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．
故选：B．
例18．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（    ）斗粟
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：.
故选：B
变式18．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（    ）
A．4 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：
，得，
显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，
所以需要的天数至少为16.
故选：C
变式19．（2022·江苏·星海实验中学高二阶段练习）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（   ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该公司经过年投入的资金为万元，则，
由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，由可得，
因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.
故选：C.
变式20．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为“一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第三天走的路程为（    ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
【答案】B
【解析】记该人第n天走的路程里数为，数列的前n项和为，
由题意得数列是以为公比的等比数列，，
故，解得，故．
故选：B
变式21．（2022·全国·高二期末）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）（其中，，）
A．2559万元 B．2969万元 C．3005万元 D．3040万元
【答案】B
【解析】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金万元，
年共7年投资总额为，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加，
则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，
故从2021年到2024年投入总资金为，
故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元．
故选：
变式22．（2022·全国·高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（    ）
A．33 B．64 C．65 D．127
【答案】C
【解析】将开始时的细胞个数记为，1小时后的细胞个数记为，2小时后的细胞个数记为，3小时后的细胞个数记为，……，
由题意可得，当时，，则
，所以
数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
所以，
所以6小时后细胞存活个数为，
故选：C
【方法技巧与总结】
解答数列应用题的步骤
（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征．
（3）求解——求出该问题的数学解．
（4）还原——将所求结果还原到实际问题中．
题型七：等比数列中与的关系
例19．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，．证明：
(1)数列为等比数列；
(2)当时，．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
在中，
令，得①，
又②，
联立①②，解得，
因为，
所以，
故数列是首项为，公比为2等比数列.
（2）由（1）可知，
则，
则当时，，
所以当时，．
例20．（浙江省宁波市2022届高三上学期一模数学试题）已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【解析】（1）当，，故，
因为，当时，,
两式相减得：，即，
故数列为等比数列，公比，
所以．
（2），
故，
故，
令①，
②，
①-②得


即，
故．
例21．（2022·陕西·乾县第一中学高三阶段练习（理））已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
当 时， 满足上式，所以 ；
同理，当 时， ，
两式相减得 ，
当 时， 满足上式，所以
（2）由（1） ，


两式相减得

整理得
变式23．（2022·浙江省杭州学军中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）因为，所以（），
故，即（）
又，故，即，因此（）
故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）
（2）因为①
故②
①②，得
，
即.
变式24．（2022·云南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得．
①当时，；当时，，
得，所以是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．
（2）由（1）得，
所以，①
所以，②
则得：，
化简得．
【方法技巧与总结】
与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．
题型八：等比数列片段和的性质
例22．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，
∴，，，成等比数列
∴，
∴，.
∴，.
故选：A
例23．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（    ）
A．12 B．22 C．26 D．32
【答案】C
【解析】设等比数列的前n项和为，公比为q,
则,则，
而，
故，
所以数列前6项和为，
故选：C.
例24．（2022·内蒙古包头·高一期末）若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，，所以，整理可得：．进而得
故选：D
变式25．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n项和为，已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
变式26．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n项和为，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，
所以，则．
故选：D
变式27．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
【方法技巧与总结】
若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．
题型九：等比数列的奇数项与偶数项和
例25．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
例26．（2022·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
例27．（2022·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
变式28．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
变式29．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
变式30．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
变式31．（2022·全国·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.
故选:B.
变式32．（2022·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（   ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,
则,又它的首项为1，所以通项为，
中间两项的和为，解得，所以项数为8，故选B.
变式33．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
【方法技巧与总结】
等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】当时，，即，，不成立；
当时，，即，解得.
，.
故选：B.
2．（2022·陕西·千阳县中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（    ）
A．99 B．100 C．101 D．102
【答案】A
【解析】假设数列的前项和为，
因为，
则数列的前项和为，
当前项和为9，故，解得，
故选：A
3．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列，
所以，，即，解得.
故选：C.
4．（2022·天津·高二期末）已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比中项的性质得，
又，
解得或，
当时，或（舍），
当时，（舍），
所以，，
此时，
所以，
故选：D.
5．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（理））已知递增的等比数列中，，，则（    ）
A．25 B．31 C．37 D．41
【答案】B
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
则①，
②，
由①②得，
解得或，
即（不满足单调递增，舍去）或，
所以.
故选：B
6．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）已知数列满足，，则（    ）
A．57 B．31 C．32 D．33
【答案】A
【解析】因为，
所以，，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所以，
.
故选：A
7．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，则（    ）
A．958 B．967 C．977 D．997
【答案】C
【解析】，，则



上述式子累加得
，

，
故选：C.
8．（2022·福建漳州·高二期中）若正项数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，又是正项数列，所以，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.
，，，
可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以.
故选：B.
9．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】C
【解析】由题意数列的前项和为，，且，
则，即，即选项A正确；
∵①，
∴当 时，②，
①-②可得，，即，
，不满足 ，
故数列不是等比数列，故C错误，
由时，可得，，则，
故，故B正确；
由得：,
则，即，
故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，
故选︰C．
二、多选题
10．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C． D．
【答案】ACD
【解析】当时，，所以，
当时，，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
.
故选：ACD.
11．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】若公比有，，，
此时，故公比，
由题意，
化简有，两边同时乘以，可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
选选：AB.
12．（2022·福建漳州·高二期中）已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．数列的通项公式为
B．若，则
C．数列为等比数列
D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，，则，又，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故A正确；
对于选项B，，则为等比数列，所以，故B正确；
对于选项C，由，得，又，则数列不是等比数列，故C错误；
对于选项D，易得，即，故D正确.
故选：ABD
13．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为点在函数的图象上，则，即.
当时，；
当时，，
满足，所以，对任意的，.
设等比数列的公比为，则，即①，显然，
由①可得②，
②①可得，所以，，则.
所以，.
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，则，C错；
对于D选项，，则，D对.
故选：ABC.
三、填空题
14．（2022·江苏·马坝高中高二期中）数列的前项和为，且___________.
【答案】
【解析】数列中，，则，
所以.
故答案为：
15．（2022·上海·高二期中）设为等比数列的前n项和，且，则等于 _____．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
由得，所以，
所以，
则
故答案为：
16．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列的前n项的和，若数列为等比数列，则的值为___________．
【答案】
【解析】数列为等比数列，则其前项成等比数列，即，
由，，
，，故，
解得. 此时，时，
当，，故符合，于是时，，数列为等比数列.
故答案为：
17．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）记，．若数列满足：，，则数列的前200项的和为_________．
【答案】
【解析】根据可得，，，，又，则，故，又，则，故.故前项和.
故答案为：
四、解答题
18．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）已知数列为等比数列．
(1)若，，求．
(2)若，，，求．
【解析】（1）因为，，所以，得
当时，
当时，
（2）因为，
得，，解得，所以
所以，得，所以
19．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：,数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．
【解析】（1）解:由题知
,
是以2为公比的等比数列,
,
的前n项和,
时,


当时,,
故,
综上:;
（2）由(1)知,
,

,①
,②
②-①可得:



故.
20．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知数列的前n项和，是首项为1的等比数列，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，求的前12项的和.
【解析】（1）数列的前n项和，
当时，，
当时，，
综上得数列的通项公式，即数列为等差数列.
设等比数列的公比为q，
则由，可得，则，
则数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
则的前12项的和
.
21．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知的三个内角的对边分别为，，，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）∵内角成等差数列,∴，又,∴,
又 所以 ，
即数列是等比数列，且首项、公比均为，所以.
（2）由（1）可得∶ ,
∴，
又，
两式相减 ,
整理得︰．
22．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）已知数列满足（，且），且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】（1）在数列中，由得，而，
则数列是公比为2的等比数列，
因成等差数列，即，
有，解得，
所以数列的通项公式为
（2）由（1）得

=