人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀当堂达标检测题

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4.2.2 等差数列的前n项和公式
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等差数列前n项和；数列前n项和判断数列是否为等差数列；等差数列前n项和求通项；含绝对值的等差数列前n项和；等差数列前n和的性质；两个等差数列前n项和的比；等差数列前n项和的二次函数特征；求等差数列前n项和的最值；等差数列前n项和求参数；等差数列奇数项或偶数项的和；等差数列的应用

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

等差数列的前项和的公式
公式：①；②．
公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
③，，成等差数列．
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
④前项和公式法：是等差数列

考点讲解



考点1：求等差数列前n项和
例1．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【方法技巧】
公式：①；②．
【变式训练】
1．若是等差数列，且是方程的两个根，则（    ）
A．4046 B．4044 C． D．
2．已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.
3．已知等差数列满足：，，其前n项和为.求数列的通项公式及.

考点2：由等差数列前n项和判断数列是否为等差数列
例2．（多选）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（    ）
A．（，为常数，）； B．（为常数，）；
C．； D．的前项和（）.

【方法技巧】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．

【变式训练】
1．已知数列的前n项和是.当________时，是公差________的等差数列.
考点3：等差数列前n项和求通项
例3．（多选）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）．
A．是递增数列 B．是递减数列
C． D．数列的最大项为和

【方法技巧】
根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.

【变式训练】
1．设数列前n项和为，，求数列的通项公式．
2．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
3．已知数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，试判断是否为等差数列，并说明理由．
考点4：含绝对值的等差数列前n项和
例4．在等差数列中，，，求数列的前n项和．

【方法技巧】
根据已知条件列方程组求出，再求出，然后可判断数列的前5项为正，其余各项为负，再分和两种情况求解.

【变式训练】
1．等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和的公式．


考点5：等差数列前n和的性质
例5．设等差数列的前项和为，若，，则______．

【方法技巧】
由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，进而即得
【变式训练】
1．已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（    ）
A．110 B．150
C．210 D．280
2．等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．
A．27 B．45 C．18 D．36
3．等差数列的前n项和为，若，，则______．
考点6：两个等差数列前n项和的比
例6．设等差数列的前项和分别是，且，则__________.

【方法技巧】
根据等差数列前项和公式求解即可.

【变式训练】
1．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）
A． B． C． D．
2．若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）
A． B． C． D．
3．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
考点7：等差数列前n项和和n的比
例7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040

【方法技巧】
根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【变式训练】
1．若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ）
A．数列是公差为的等差数列
B．数列是公差为的等差数列
C．数列是公差为的等差数列
D．数列是公差为的等差数列
2．已知等差数列的前项和为，，，则___________.
3．等差数列中，，前项和为，若，则______.
考点8：等差数列前n项和的二次函数特征
例8．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（    ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【方法技巧】
根据等差数列前n项和的函数特征，即可根据对称性求解.

【变式训练】
1．已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
2（多选）．等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（    ）
A．B．C．D．
3.等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．


考点9：求等差数列前n项和的最值
例9．记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【方法技巧】
设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定.

【变式训练】
1．等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
2（多选）．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
考点10：等差数列前n项和求参数
例10．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．

【方法技巧】
根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.

【变式训练】
1．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（    ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（    ）
A．17 B．18 C．19 D．20

考点11：等差数列奇数项或偶数项的和
例11．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）．
A．30 B．29 C．28 D．27

【方法技巧】
由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【变式训练】
1．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
2．已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．

考点12：等差数列的应用
例12．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（    ）
A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤

【方法技巧】
根据等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.

【变式训练】
1．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（    ）
A．134 B．133 C．114 D．113
2．广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（    ）

A．352 B．387 C．332 D．368

知识小结

等差数列的前项和的公式
公式：①；②．
公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
③，，成等差数列．
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
④前项和公式法：是等差数列

巩固提升

一、单选题
1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（    ）
A．18 B．27 C．36 D．9
2．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ）
A． B． C． D．
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）．
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝（    ）
A．15 B．16 C．19 D．20
5．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（    ）
A．23 B．24 C．25 D．26
6．记为等差数列的前n项和，若则的公差为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，且，数列的前m项和，若，则m的值为（   ）
A．9 B．11 C．12 D．14
8．已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则下列等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．
C． D．

三、填空题
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为___．
12．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.
13．已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．
14．已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.

四、解答题
15．已知数列的前项和满足（），且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足（），且，求数列的前项和．
16．为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.