重难点专题02 数列前n项和常见的9种求法-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

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重难点专题02 数列前n项和常见的9种求法
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
(1)公式法：
等差数列
①

等比数列
②
(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：
①
②
③
④
⑤
(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .
(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .
(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（6） 分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．
（7） 奇偶分析求和法
（8） 其它求和法
考点讲解

考点1：等差数列公式法求前n项和
例1．已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，
所以其通项公式为；
（2）由（1）可得，数列的前项和.
【方法技巧】
等差数列
①
【变式训练】
1.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）
A．-110 B．-115 C．110 D．115
【答案】B.
【详解】由题意知，，
得，解得，
所以.
故选：B
2（2022·河南·模拟预测（文））设等差数列的前n项和为，，.若对任意的正整数n，都有，则整数k＝（       ）
A．34 B．35 C．18 D．19
【答案】C
【详解】因为，所以.
因为，
所以，所以，
故的前18项和最小，即.
故选：C
考点2：等比数列公式法求前n项和
例2．已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），
所以，.
（2）由（1）得，所以.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

【方法技巧】
等比数列
②

【变式训练】
1.（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】
由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.

2.（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
解(1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．

考点3：裂相求和
例3．已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.
即，即又，且，解得
所以有.
（2）由（1）知：
则.即.
【点睛】
此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题

【方法技巧】
裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：
①
②
③
④
⑤
【变式训练】
例3：1.（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
(1)解：由题意得：由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
(2)由题知
则


2.（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
解：(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以.
3．已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．
试题解析：（I）当时，，得或（舍去）．
当时，，，两式相减得
，
所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，．
（Ⅱ）



考点4：错位相减
例4．已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【详解】（1）因为方程两根为或7，
又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，
，，设公差为，则，解得，.
.
对于数列，，
当时，，解得；
当时，，
整理得，即，所以数列是等比数列，

（2），
数列的前项和，，
......
两式相减可得......，
.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征灵活选择求和方法.

【方法技巧】
错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .
【变式训练】
1.（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列满足，，其前n项和为．数列满足．
(1)求．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设等比数列首项为，公比为q，
则，解之得，
则，，，
则
(2)由，可得
则数列的前n项和

则
则

举一反三
（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知等比数列的公比，且.是的等差中项.数列满足，数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)由题意可得，可得，即
解得，即
(2)由（1）可得：
设数列的前项和为，即
当时，
当时，
∴，即
当时，则
令，则
两式相减得：
∴，则
∴
考点5：倒序相加
例5．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．


【方法技巧】
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .
【变式训练】
1．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，利用倒序相加法求解.
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
2．已知函数，数列满足，则（    ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
考点6：分组求和
例6．已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【详解】（1）由，
当时，，
时，对上式也成立，
∴；
又，，.
（2），

.
【点睛】
本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.
【方法技巧】
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
【变式训练】
1.（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过条件得到，再利用累加法即可求解.
【详解】
解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.

2．（2022·湖北·模拟预测）已知数列，满足，，且，．
(1)若为等比数列，求值；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和．
解：(1)由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
考点7：分段求和
例7．在数列中，，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【详解】（1），
，
∴数列是等差数列，设其公差为，
，
，
．
（2）设数列的前项和为，则由（1）可得，
，．
由（1）知，令，得．
∴当时，，
则

；
当时，，
则．

【点睛】
方法点睛：求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有：
（1）若，则存在，使得，从而有
（2）若，则存在，使得，从而有
【方法技巧】
分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．
【变式训练】
1.已知数列的前项和.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【详解】（1）由题意得
①若，则，
②若，则，经检验满足上式.
故，
由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.
（2）易得：
①若，，
②若，，
综上.
【点睛】
思路点睛：已知为等差数列，求解的前项和的思路：
（1）先根据项的正负将的通项公式分段书写；
（2）根据分段的通项公式，分别考虑在对应的范围下的计算方法，由此求解出结果.

考点8：奇偶分析法求和
例8.（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）
A．351 B．353 C．531 D．533
【答案】B
【详解】依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，

，
故选：B．

【方法技巧】
根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．

【变式训练】
1.（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
【解析】(1)由得，
当n=1时，，解得.
当n≥2时，，从而，即，
因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.
(2)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以数列的前15项和为



.

考点9：其它求和方法
例9．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则________.
【答案】4 714
【详解】根据，及，
得，…，
易知数列是周期为3的周期数列，
且（），
所以
.
故答案为：4714
【方法技巧】
根据等积数列的定义可判断数列是周期为3的周期数列，进而根据周期性即可求解.

【变式训练】
1．已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
解：（1）∵；
∵，∴
两式相减可得，又，∴.
（2）由（1）知：，
所以当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
所以数列的前10项和为．
2．已知数列，且为该数列的前项和.
(1)猜想数列的通项公式；
(2)计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；
解：(1)根据题意可得
(2)，
所以.
用数学归纳法证明这个猜想．
①当时，左边
右边，猜想成立．
②假设当时猜想成立，即



所以，当时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立．
3．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
解：(1)设{an}的公比为q．由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8．解得q=(舍去)，或q=2，．
所以{an}的通项公式为an=2n．
(2)由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m1，所以
数列的通项公式为
（2）根据等比数列的求和公式，有
所以
所以
考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和