人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

6.3.1 平面向量基本定理

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1. 体验平面向量基本定理的概念生成过程，理解平面向量基本定理

2. 能够应用平面向量基本定理表示向量、证明简单的几何命题

二、教学重难点

1. （重点）平面向量基本定理的内容叙述与理解

2. （重点）用基底表示向量、用向量方法证明简单的几何命题

3. （难点）证明几何命题中的向量思想

三、教学过程

1.平面向量基本定理的概念形成过程

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】物理学中的基本方法：受力分析与力的分解

在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）.

问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解.

追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？

【预设的答案】如图所示，预设为大部分学生的分解结果.

【设计意图】对于高一学生而言，力是最常接触、最常处理的向量（矢量），采用之前已经学过的力的分解作为引入，能够让学生从熟悉的情境着手，引起学生的兴趣.

1.2探究典例，形成概念

【数学情境】平面向量的分解

问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量，假设向量与都不共线，试将按的方向进行分解.

【活动预设】

（1）分组活动，首先让学生尝试将向量进行分解，然后交流成果.

（2）教师讲解，将本题的分解过程完整板书.

以向量为对角线，根据所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量在方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与共线，根据共线向量定理，他们分别可以写成的形式，其中都是确定且唯一的实数.于是，向量可以写成如下的分解式：.

同理将的分解方式也进行板书.题目中向量的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”.

（3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量关于的分解过程.

【设计意图】创设数学情境，通过平面向量分解的实例，让学生感受在数学学习中，平面向量的分解是规律性的一般问题，值得我们深入探究.

问题2：对比力的分解的过程和向量分解的过程，你发现了什么共同特点？

【活动预设】

（1）引导学生归纳概括出问题的共同特征：给定两个“方向”（教师适当明确为两个“不共线的向量”，就能够对向量进行分解，并且这种分解方式是唯一的）

（2）展示并板书平面向量基本定理的内容.教师解释定理中的要点：不共线、存在性、唯一性.

【设计意图】前面创设的实际情境与数学情境是为本节的重要定理：平面向量基本定理而服务的，需要通过清晰准确的叙述和解释来抓住学生的思维，带领学生更深刻的思考.

2.初步应用，理解概念

【活动】求解以下问题及变式.

例1 如图所示，是三角形的中线.试用表示

变式 若是线段上靠近的三等分点，试用表示

【预设答案】例1： 变式：

问题3：观察分解式两基底的系数，你发现了什么？再分别观察以及的位置关系，你又发现了什么？试讨论并总结你的观察.

探究并证明以下问题：若在直线上有一点，满足，试用表示

【预设答案】

教师将该结论板书总结：三点共线的重要结论

【题后小结】用基底表示向量的一般过程：

1.      选定基底，分析图形
2.      结合图形，向量运算
3.      保留结果，未完继续

【设计意图】

（1）初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则.

（2）借助阶梯式的设问，一步步深入探究关于三点共线的结论，培养学生的提问意识与问题解决意识.

【跟踪训练】

1.在平行四边形ABCD中,设,,试用基底表示,.

2.已知点是△所在平面内一点,若=+,则△与△的面积之比是________.

【活动】首先独立思考以下问题，然后跟随老师解决问题.

例2 如图所示，是三角形的中线，

试用向量方法证明：三角形为直角三角形.

【预设答案】略

问题4（问题链）：

①    想要用向量方法证明这个命题，首先需要做到什么？（选取两个不共线的向量）这个向量怎样选取比较合适？（已知条件中给出长度、角度等数值时）

②    在选取向量之后，我们怎样向问题靠拢？（证明是直角）

③    在向量运算中，证明垂直与怎样的运算是等价的？（证明数量积为0）

④    在完成计算后，还需要做怎样的步骤才算解决问题？（将向量运算结果重新翻译为几何命题）

通过问题链完成逻辑梳理后，教师板书完整过程.（或者随着问题链逐步板书）

【题后小结】用向量方法证明简单的几何命题的一般过程.

1.      选定基底，表示向量
2.      翻译命题，向量运算
3.      反译结果，得出结论

【设计意图】

（1）利用问题链，经历运用向量证明简单几何命题的过程.

（2）回顾平面向量基本定理的核心——基底，以及向量的运算律.体会围绕基底进行向量运算的过程.

3.课后总结，结构搭建

【回顾总结】我们在本节课中学习了如下知识：

      平面向量基本定理的内容

      用基底表示向量的一般方法

      三点共线的重要性质

      用向量方法证明简单的几何命题

【设计意图】再次回忆、回顾本节课所学内容，巩固加深印象，为后续学习做准备.

3.拓展提升，超越自我

思考 如图所示，在三角形中，为线段上靠近的三等分点，为中点，，相交于点.试用表示.

【设计意图】

供学有余力的同学研究.

四、课外作业

课本P27 练习1-3；本学案的“跟踪训练”