高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线教案设计

第三章  圆锥曲线的方程

3.2  双曲线

3.2.2  双曲线的简单几何性质

一、教学目标

1、会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察其图象有何几何特征.(重点)

2、会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取双曲线的简单几何性质，并能初步应用.

二、教学重点、难点

重点： 双曲线的简单几何性质

难点： 双曲线的简单几何性质的正确应用

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【情景一】我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？

【问题】能否按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？

（二）阅读精要，研讨新知

【回顾】

【类比】

【例题研讨】阅读领悟课本例3（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）

例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：由已知，双曲线的标准方程为，所以，

所以，双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点坐标为，离心率为，

渐近线方程为.

【小组互动】完成课本 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

【例题研讨】阅读领悟课本 例4、例5、例6（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.）

 例4双曲线型冷却塔的外形， 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10 (1) ). 它的最小半径为12m. 上口半径为13 m,下口半径为25m,高为55m. 试建立适 当的坐标系，

求出此双曲线的方程(精确到1 m).

解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10 (2) 

所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合，

这时，上、下口的直径都平行于轴，

且.

设双曲线的方程为，点

因为直径是实轴，所以，又两点都在双曲线上，所以，

由②得，代入①化简得，解得（舍去负值）

因此所求双曲线的方程为

例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.

解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合

由此得，化简得

所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线

例6如图3.2-12, 过双曲线的右焦点, 倾斜角为的直线交双曲线于两点，求.

解：由已知，双曲线的焦点分别为 ，

直线的方程为

由，设，则

，

所以

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

类型一　双曲线的几何性质

1.已知双曲线的离心率为，则焦点到渐近线的距离为(　　)　

A.2           B.    C.4          D.8

解：由已知，解得

所以双曲线一个焦点为，渐近线为，

所以焦点到渐近线的距离为，故选B

2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.         B.        C.         D.

解：方法一：由已知，，渐近线为，故选C

方法二：由已知，,所以渐近线为，故选C

3. 在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为，则的值为________. 

解：当焦点在轴上时,此时

当焦点在轴上时,此时

答案:   或

类型二　利用双曲线的几何性质求双曲线的方程

4. 已知双曲线的离心率,且其虚轴长为8,则双曲线的方程为 (　　)

A.       B.          C.         D.  

解：由已知解得，所以双曲线C的方程为，故选B

5. 过双曲线的右顶点作轴的垂线,与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点(为坐标原点),则双曲线的方程为              (　　)

A.       B.          C.         D.  

解：因为以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点,

所以半径，则圆的标准方程为,

由题意得,则，即

即，则双曲线的方程为 ，故选D.

6. 已知双曲线与有公共渐近线,且一个焦点为,则双曲线的标准方程为__________. 

解：由已知,可设所求双曲线方程为 ,则，又，

所以,故所求双曲线的方程为，

答案:

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题3.2   3、4、6、8、11、12、13、14

2.阅读课本《为什么是双曲线的渐近线》

3. 预习3.3  抛物线

五、教学反思：（课后补充，教学相长）