人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线教案及反思

第三章  圆锥曲线的方程

3.3  抛物线

3.3.2  抛物线的简单几何性质

一、教学目标

1、掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2、能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.

二、教学重点、难点

重点：掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质

难点：灵活根据抛物线的几何性质解决抛物线的有关问题

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【情景一】抛物线的魅力展现

【情景二】

【思考】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？

（二）阅读精要，研讨新知

【类比、发现】

【例题研讨】阅读领悟课本例3、例4（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）

例3已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.

解：依题意，可设抛物线的标准方程为，

因为点在抛物线上，所以 ，解得

因此，所求抛物线的标准方程是.

例4斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.

解：由已知，抛物线的焦点为， 准线方程为，如 图3.3-4，

设，两点到准线的距离分别为，由抛物线的定义，

可知，

于是

由已知，设直线

由，所以，

所以，

所以，线段的长是8.

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）

例5经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.

证明：如图3.3-5， 以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.

设抛物线的方程为      ①

点， 则直线的方程为      ②

抛物线的准线方程是      ③

联立②③，可得，

当时，直线的方程为      ④

联立①④，消去，可得

 即，可得

所以，即平行于轴.

当时，易知结论成立.

所以，直线平行于抛物线的对称轴.

例6如图3.3-6， 已知定点，轴于点, 是线段上任意一 点，轴于点, 于点，与相交于点，求点的轨迹方程.

解：设点，其中,则点.

由题意，直线的方程为     ①

因为点在上，所以     ②

所以点的横坐标满足②.

直线的方程为      ③

因为点在上，所以点的坐标满足③.

将②代人③，消去，得，即点的轨迹方程

【发现】例6中，设点关于轴的对称点为，则方程对应的轨迹是常见的抛物拱 (图3.3-7).

抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1.已知是抛物线的焦点, 是该抛物线上的两点, ,则线段的中点到轴的距离为(　　)

A.            B.1            C.            D.

解：由已知，，由抛物线的定义,有,

所以,故线段的中点到轴的距离为. 故选C.

2.设为抛物线的焦点, 为抛物线上不同的三点,点是的重心, 为坐标原点, 的面积分别为,则 (　　)

A.9   B.6   C.3    D.2

解：设,由已知，所以

所以，

因为点是的重心,所以,所以. 故选C.

3. 已知点是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点,则的最小值是________. 

解：如图,由,得,所以,,所以

答案:9

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1. 完成课本习题3.3   5、6、9、10、11、12、13

2. 阅读《圆锥曲线的光学性质及其应用》

3. 阅读《小结》

4. 完成 复习参考题3

五、教学反思：（课后补充，教学相长）