高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线教案

第三章 圆锥曲线的方程

3.2.2 双曲线的简单几何性质

教学设计

教学目标

1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.

2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.

教学重难点

教学重点：双曲线的几何性质.

教学难点：双曲线的几何性质的应用.

教学过程

新知积累

1.范围

由方程可得，

双曲线上点的坐标都适合不等式，即.

所以，或；.

这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.

2.对称性

双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

3.顶点

在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点，.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.

令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把，两点画在y轴上（如图）.

线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.

4.渐近线

一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.

在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线，围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

5.离心率

双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.

双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.

例题巩固

例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：把双曲线的方程化为标准方程.

由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为.

例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.

解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的
直角坐标系Oxy，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.

这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，.

设双曲线的方程为，点C的坐标为.

则点B的坐标为.

因为直径是实轴，所以.

又B，C两点都在双曲线上，所以，

由方程②得（负值舍去），代入方程①得.

化简得③，

解方程③得（负值舍去）.

因此所求双曲线的方程为.

例3 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.

解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.

将上式两边平方，并化简，得，即.

所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.

例4 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.

解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，.

因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，

所以直线AB的方程为.①

由，消去y得.

解得，.

将，的值分别代入①，得，.

于是A，B两点的坐标分别为，.

所以.

课堂练习

1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

答案：A

解析：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，则该双曲线的离心率.故选A.

2.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的标准方程为(   )
A. B. C. D.

答案：A

解析：双曲线的一个焦点在直线l上，当时，，即双曲线的左焦点坐标为，.双曲线的一条渐近线平行于直线，.又，，，双曲线的标准方程为.故选A.

3.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P是双曲线上一点，且，若的面积为8，则_______________.

答案：

解析：不妨设P为双曲线左支上的一点，由题意，设，，则有，，，，可得，即，所以，即，则.

小结作业

小结：本节课学习了双曲线的简单几何性质及其应用.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

3.2.2 双曲线的简单几何性质

1.范围

2.对称性

3.顶点

4.渐近线

5.离心率