数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案设计

第二章  直线和圆的方程

2.5  直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.2  圆与圆的位置关系

一、教学目标

1. 理解圆与圆的六种位置关系

2. 会用圆心距与圆半径的关系来判断圆与圆的位置关系

3. 会用方程思想（判别式法）判断圆与圆的位置关系

4. 培养数学抽象和数学运算的核心素养

二、教学重点、难点

重点：理解圆与圆的六种位置关系

难点：会用圆心距与圆半径的关系来判断圆与圆的位置关系

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【情景一】请将图中的四个区域涂上颜色，看看有什么发现？

【情景二】机械硬盘中的同心圆、正五边形中圆与圆的关系

【情景三】你能发现下图中图形与圆的关系吗？

【讨论】两个圆之间有着怎样的位置关系？请用图形表示出来.

（二）阅读精要，研讨新知

【位置】两个圆的关系以及位置判断方法

【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）

例5已知圆,圆， 试判断圆与圆的位置关系.

解法1:将圆与圆的方程联立，得到方程组

，化简得    ①

因为，所以方程①有两个解，从而方程组有两组解，

所以圆与圆相交.

解法2:把圆与圆化成标准方程，得，

所以，

因为

所以圆与圆相交

例6已知圆 的直径,动点与点的距离是它与点的距离的2倍. 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系.

解：如图2.5-7以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则

所以

化简得

所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.

因为两圆的圆心距为,两圆的半径分别为

又

所以点的轨迹与圆相交.

【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1. 已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是 (　　)

A.内切    B.相交           C.外切    D.相离

解：由题知圆,圆心到直线的距离,所以,解得. 两圆的圆心距,故两圆相交. 故选B.

2. 集合,其中,若中有且仅有一个元素,则的值是________. 

解：因为有且仅有一个元素, 所以圆与圆相切,

若两圆外切, ,所以

若两圆内切, ,所以

综上, 的值为 3或7.

答案:3或7

3. 若圆上总存在两点到原点的距离为1,则实数的取值范围是(　　)

A.                         B.

C.                 D.

解：根据题意知,圆与圆相交,两圆圆心距为,

所以,解得.

所以或，故选C.

4. 如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切,切点分别为,另一圆与圆,轴及直线均相切,切点分别为.

（1）求圆和圆的方程.

（2）过点作的平行线,求直线被圆截得的弦的长度.

解：（1）由于圆与的两边相切,故到及的距离均为圆的半径,则在的角平分线上,同理, 也在的角平分线上,即三点共线,且为的角平分线,

因为,所以到轴的距离为1,即圆的半径为1,

所以圆的方程为.

设圆的半径为,由,得,

即，解得,

所以圆的方程为.

（2）由对称性可知,所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长,

此弦所在直线方程为,即,

圆心到该直线的距离，

所以直线被圆截得的弦长为.

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1. 完成课本习题2.5  4、5、6、7、8、9、10、11、12、15

2. 阅读课本《小结》

3. 完成复习参考题2

五、教学反思：（课后补充，教学相长）