人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教学设计

第三章  圆锥曲线的

3.1  椭圆

3.1.3  椭圆方程及性质的应用

一、教学目标

1、熟悉椭圆的方程和简单的几何性质.

2、正确理解和掌握直线与椭圆的位置关系

3、初步认知与熟悉直线与椭圆的相关问题.

二、教学重点、难点

重点：对椭圆方程和简单的几何性质的掌握、重点方法的学习.

难点：数形结合思想的正确形成，正确熟练地的运算、正确解题通道的准确建立.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【思考】椭圆在平面直角坐标系内的三种关系：

（1）点与椭圆  （2）直线与椭圆  （3）曲线与椭圆

这些位置关系构成了怎样的数学问题？

（二）阅读精要，研讨新知

一、点与椭圆的位置关系问题

1. 若直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是           ．

【解析】由已知，直线化为，所以直线恒过定点

        依题意，只须点在椭圆上或椭圆内即可，所以，即

        又，所以的取值范围是

【答案】

二、直线与椭圆的位置关系问题

2.若直线与圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为(　　)

A.2个               B.至多一个  C.1个             D.0个

【解析】由题意得

所以点在椭圆内,故过点的直线与椭圆有2个交点，故选A.

3.已知椭圆,直线与椭圆有两个公共点,则实数的取值范围是__________. 

【解析】由消去得

因为直线与椭圆有两个公共点,所以

解得，所以实数的取值范围是

【答案】

三、直线与椭圆的弦长问题

4.已知椭圆设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

【解析】设

（1）当轴时，

（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知

由，整理得

当时，上式

当且仅当，即时等号成立

当时，，综上所述，，此时，

四、直线与椭圆的点的对称问题

5.已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.

【解析】方法一：(方程组法)  设椭圆上存在两点关于直线对称，

由题意，设，设，的中点为，

由，

则 ， ①

，

又点在直线上，代入①解得

 ，为所求

方法二：(点差法)  设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则，两式相减得

又

①

又点在直线上， ②  解得

，又在椭圆内，

，为所求

五、直线与椭圆的定点问题

6.已知椭圆若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【解析】设，由 得 ，

      （1）

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

, 即 ，

即，

解得，且满足.

当时，有，直线过定点与已知矛盾；

当时，有，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

六、直线与椭圆的定值问题

7.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，，证明为定值.

【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为则右焦点为，直线的方程为，

由  整理得  ，

设，则

由共线，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故椭圆可化为，设 由

   在椭圆上，

，  

即 ①

由（Ⅰ）知，，

又，代入①得

七、直线与椭圆的最值问题、范围问题

8.设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

【解析】（Ⅰ）方法一：由已知得，所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

方法二：由已知得，所以，设，则

（以下同方法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

由，消去，整理得，∴

由  得 或   ①

又，∴

又

∵，即  ∴    ②

综合 ①、②得或

所以直线的斜率的取值范围为

（五）作业布置，精炼双基

1. 预习3.2  双曲线

五、教学反思：（课后补充，教学相长）