三角函数诱导公式(2)

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．若cos(π＋α)＝，则sin 等于(　B　)

A．　　　　　　　　　B．－　　　

C．　    D．－

【解析】 因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以cos α＝－，所以sin ＝cos α＝－.

2． 下列与cos 的值相等的是(　BD　)

A．sin (π－θ)    B．sin (π＋θ)

C．cos     D．cos

【解析】 cos ＝cos ＝－cos ＝－sin θ，而sin (π－θ)＝sin θ，sin (π＋θ)＝－sin θ，cos ＝sin θ，cos ＝－sin θ.故选BD.

3．若角θ的终边经过点(－1，)，则cos 等于(　A　)

A．    B．－

C．    D．－

【解析】 由题意知sin θ＝，所以cos ＝cos ＝sin θ＝.

4．已知sin θ＝，则cos (450°＋θ)的值是(　B　)

A．    B．－

C．－    D．

【解析】 cos (450°＋θ)＝cos (90°＋θ)＝－sin θ＝－.

5．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　C　)

A．2

B．－2

C．2－

D．－2

【解析】 cos α＝＝sin 2＝cos ，

因为α为锐角，所以α＝2－.

6．若角θ满足＝3，则tan θ的值为(　C　)

A．－1    B．－2

C．1    D．2

【解析】 由＝3，得＝3，等式左边分子、分母同时除以cos θ，得＝3，解得tan θ＝1.

二、填空题

7．sin 85°＋cos 175°的值为__0__．

【解析】 sin 85°＋cos 175°＝sin (90°－5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.

8．已知sin ＝，且α∈(－π，0)，则sin α＝__－__，tan (α－π)＝__－2__．

【解析】 由sin ＝，得cos α＝.

又α∈(－π，0)，所以α∈，

所以sin α＝－＝－＝－，

tan(α－π)＝tan α＝＝＝－2.

9．化简：sin (－α－7π)·cos ＝__－sin2α__．

【解析】原式＝－sin (7π＋α)cos ＝－sin (π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.

10．若角α的终边过点P(1，－2)，则tanα＝__－2__，＝____．

【解析】 设点P(x，y)，则x＝1，y＝－2，所以tan α＝－2，所以

＝＝＝.

11．已知sin ＝，则sin ＝__－__，cos ＝____．

【解析】 sin ＝sin ＝

－sin ＝－；

cos ＝cos ＝

sin ＝.

三、解答题

12．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

解：因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，解得a＝－，

所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.

[B级　素养养成与评价]

13． 定义：角θ与φ都是任意角，若满足 θ＋φ＝，则称角θ与φ “广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　AC　)

A．sin β＝    B．cos (π＋β)＝

C．tan β＝    D．tan β＝

【解析】 ∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.

若α＋β＝，则β＝－α.

A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A项符合条件；B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B项不符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，由A知，当sin β＝时可能与角α“广义互余”，故C项符合条件；D中，tan β＝，即sin β＝cos β.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D项不符合条件，故选AC.

14．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为____．

【解析】因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，

所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.

15．已知函数f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；

(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．

解：(1)f(α)＝＝－cos α.

(2)f＝－cos ＝sin α，

因为f(α)·f＝－，所以cos α·sin α＝，

可得(sin α－cos α)2＝，由≤α≤，得cos α＞sin α，

所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.

(3)由(2)得f＝sin α，又f＝2f(α)，

所以sin α＝－2cos α，联立sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，

所以f(α)·f＝－sinαcos α＝2cos2α＝.

16．若α∈，β∈(0，π)，是否存在角α，β使等式sin(3π－α)＝cos ，cos (－α)＝－cos (π＋β )同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：由条件，得

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③

又因为sin2α＋cos2α＝1，④

由③④得cos2α＝，即cosα＝±，

因为α∈，所以α＝或α＝－.

当α＝时，代入②得cos β＝.

又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知，符合；

当α＝－时，代入②得cos β＝.

又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知，不符合．

综上所述，存在α＝，β＝满足条件．