三角函数诱导公式(1)

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．化简cos2(π＋α)－sin(π－α)sin (－α)的值为(　A　)

A．1　　　　　　　　B．2sin2α

C．0    D．2

【解析】cos2(π＋α)－sin(π－α)sin (－α)＝cos2α＋sin2α＝1.

2．已知cosα＝k，k∈[－1，1]，则cos (3π＋α)等于(　D　)

A．－　　　     B．

C．±    D．－k

【解析】 cos (3π＋α)＝cos (π＋α)＝－cos α＝－k.

3．计算sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是(　A　)

A．    B．　

C．　    D．

【解析】原式＝sin2(180°－30°)＋sin2(180°－45°)＋2sin(180°＋30°)＋cos2(180°＋45°)＝＋＋2×＋＝.

4．记cos(－70°)＝m，那么tan 110°等于(　B　)

A．    B．－

C．    D．－

【解析】 因为cos (－70°)＝m，所以cos 70°＝m，所以sin 70°＝ ，tan 70°＝ ，所以tan 110°＝－tan 70°＝－.

5．下列化简正确的是(　AB　)

A．tan (π＋1)＝tan 1

B．＝cos α

C．＝tan α

D．＝1

【解析】 A正确；B正确，＝＝cos α；

C错误，＝＝－tan α；

D错误，＝＝－1.

6．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 360°等于(　A　)

A．0    B．2

C．－2    D．1

【解析】 利用诱导公式cos (180°＋α)＝－cos α可得，

cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 360°＝(cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°)＋(cos 181°＋cos 182°＋cos 183°＋…＋cos 360°)＝(cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°)－(cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°)＝0.

二、填空题

7．已知cos (3π－α)＝－，α是第四象限角，则sin (－α－π)的值为__－__．

【解析】 因为cos (3π－α)＝－，所以cos α＝.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.所以sin (－α－π)＝sin α＝－.

8．已知tan (α－π)＝2，则的值为__－__．

【解析】 因为tan (α－π)＝2，则tan α＝2，所以

＝＝

＝＝－.

9．已知A＝＋(k∈Z)，则由A的值构成的集合为__{－2，2}__．

【解析】 当k为偶数时，A＝＋＝2；

当k为奇数时，A＝＋＝－2.

10．已知cos ＝，则cos ＝__－__，cos ＝__－__．

【解析】 cos ＝cos ＝

－cos ＝－cos ＝－；

cos ＝cos ＝－cos ＝

－cos ＝－.

11．的值是__－2__．

【解析】 原式＝

＝

＝

＝＝

＝－2.

三、解答题

12．已知 sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0, 求的值．

解：因为sin (α＋π)＝，所以sin α＝－.

又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝＝，

所以tanα＝－，

故原式＝＝＝－.

[B级　素养养成与评价]

13．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　CD　)

A．sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角

B．若cos (nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝

C．若α是三角形的一个内角，cos (π＋α)＝，则tan (π－α)＝

D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1

【解析】对于A，由诱导公式二，知α∈R时，sin (π＋α)＝－sin α，所以A项错误；对于B，当n＝2k(k∈Z)时，cos (nπ－α)＝cos (－α)＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos (nπ－α)＝cos [(2k＋1)π－α]＝cos (π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以B项错误；对于C，∵cos (π＋α)＝，∴cos α＝－.又α是三角形的一个内角，∴sin α＝，∴tan (π－α)＝－tan α＝－＝，所以C项正确；对于D，将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0，若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，若cosα＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D项正确，故选CD.

14．已知函数f(x)＝则f＋f＝__－2__．

【解析】 因为f＝sin ＝sin ＝sin ＝，f＝f －1＝f －2＝sin －2＝－－2＝－，所以f＋f＝－2.

15．已知sin (5π－α)－cos (7π－β)＝1，求sin2(kπ－α)＋cosβ－1的取值范围．

解：由已知得sin α＋cos β＝1，所以cos β＝1－sin α.

由sin2β＋cos2β＝1可得－1≤cosβ≤1，

所以－1≤1－sin α≤1，

又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，

所以sin2(kπ－α)＋cosβ－1

＝sin2α＋1－sinα－1

＝sin2α－sinα＝－.(*)

又0≤sin α≤1，

所以当sin α＝时，(*)式取得最小值－，

当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，

故所求取值范围是.

16．在△ABC中，若sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求△ABC的三个内角．

解：由已知得sin A＝sin B，①

cos A＝cos B，②

①与②分别平方相加得2cos2A＝1，解得cosA＝±.

又因为A∈(0，π)，所以A＝或π.

当A＝π时，cos B＝－<0，所以B∈，

所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．

所以A＝，cos B＝，

所以B＝，所以C＝π.

综上所述，A＝，B＝，C＝π.