高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式同步达标检测题，共6页。

1．sin 460°sin(－160°)＋cs 560°cs(－280°)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
解析：选B 原式＝－sin 100°sin 160°＋cs 200°·cs 280°
＝－sin 80°sin 20°－cs 20°cs 80°
＝－(cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).
2．已知cs α＝－eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝－eq \f(12,13)，β是第三象限角，则cs(β－α)的值是( )
A．－eq \f(33,65) B．eq \f(63,65)
C．eq \f(56,65) D．－eq \f(16,65)
解析：选A 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin α＝eq \f(4,5)，因为β是第三象限角，所以cs β＝－eq \f(5,13)，所以cs(β－α)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－eq \f(33,65).
3．若α∈[0，π]，sin eq \f(α,3)sin eq \f(4α,3)＋cs eq \f(α,3)cs eq \f(4α,3)＝0，则α的值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
解析：选D 因为cs eq \f(4α,3)cs eq \f(α,3)＋sin eq \f(4α,3)sineq \f( α,3)＝0，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4α,3)－\f(α,3)))＝0，所以cs α＝0.
又α∈[0，π]，所以α＝eq \f(π,2)，故选D.
4．(2021·黑龙江漠河高中高一月考)已知cs(α－β)cs α＋sin(α－β)sin α＝－eq \f(4,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sin β的值是( )
A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5) D．eq \f(3,5)
解析：选C ∵cs(α－β)cs α＋sin(α－β)sin α＝cs(α－β－α)＝cs(－β)＝cs β＝－eq \f(4,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
∴sin β＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \f(3,5).故选C.
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
解析：选C cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.
6．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(12,13)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \f(α＋β,2)的值为________．
解析：∵eq \f(π,2)<α<π，0<β－eq \f(π,4)<－eq \f(β,2)<0，eq \f(π,2)<α＋β∴eq \f(π,4)<α－eq \f(β,2)<π，－eq \f(π,4)又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(12,13)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(5,13).
∴cs eq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝－eq \f(15,65)＋eq \f(48,65)＝eq \f(33,65).
答案：eq \f(33,65)
7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs α，则tan α＝________．
解析：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcseq \f(π,3)＋sin αsineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝cs α，∴eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(1,2)cs α，∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(3),3)，即tan α＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
8．在△ABC中，sin A＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(12,13)，则cs(A－B)＝________．
解析：因为cs B＝－eq \f(12,13)，且0所以eq \f(π,2)所以sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝eq \f(5,13)，
且0所以cs A＝ eq \r(1－sin2A)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq \f(3,5)，
所以cs(A－B)＝cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).
答案：－eq \f(16,65)
9．若0<α解：由cs α＝eq \f(1,3)，0<α由cseq \f(β,2)＝eq \f(\r(3),3)，－eq \f(π,4)所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝cs αcseq \f(β,2)＋sin αsineq \f(β,2)
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)))＝－eq \f(\r(3),3).
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).求cs(α－β)的值．
解：依题意，得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).
因为α，β为锐角，所以sin α＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \f(\r(5),5)，所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(2),10)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(7\r(2),10)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(9\r(10),50).
[B级 综合运用]
11．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
解析：选AC 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝1.∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝eq \f(π,3)，∴C正确，D错误，故选A、C.
12．若cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝________．
解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)＝2＋2cs(α－β)＝2＋2×eq \f(1,3)＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
13．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(11,14)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝________，cs α＝________．
解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，∴α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(3),14)，
∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,2)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(5\r(3),14) eq \f(1,7)
14．已知α，β为锐角且eq \r(（cs α－cs β）2＋（sin α－sin β）2)＝eq \f(\r(10),5).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)若cs α＝eq \f(3,5)，求cs β的值．
解：(1)∵eq \r(（cs α－cs β）2＋（sin α－sin β）2)＝eq \f(\r(10),5)，
∴2－2(cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(2,5)，
∴cs(α－β)＝eq \f(4,5).
(2)∵cs α＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，α，β为锐角，
∴sin α＝eq \f(4,5)，sin(α－β)＝±eq \f(3,5).
当sin(α－β)＝eq \f(3,5)时，cs β＝cs[α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(24,25)；
当sin(α－β)＝－eq \f(3,5)时，
cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cs β＝eq \f(24,25).
[C级 拓展探究]
15．如图，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60,13)，\f(25,13))).
(1)求cs(α＋π)的值；
(2)将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转β(0<β<π)角到点Q(－3，4)，求cs β的值．
解：(1)因为α的终边过Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60,13)，\f(25,13)))，所以|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60,13)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,13)))\s\up12(2))＝5，由三角函数的定义得cs α＝eq \f(\f(60,13),5)＝eq \f(12,13)，所以cs(α＋π)＝－cs α＝－eq \f(12,13).
(2)由题意知cs(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，由(1)知sin α＝eq \f(\f(25,13),5)＝eq \f(5,13)，所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)·cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).