2020-2021学年5.5 三角恒等变换课时练习

这是一份2020-2021学年5.5 三角恒等变换课时练习，共6页。

1． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列各式化简正确的是( ABC )
A．cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs 60°
B．cs 15°＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
C．sin (α＋45°)sin α＋cs (α＋45°)cs α＝cs 45°
D．cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,2) cs α＋ eq \f(\r(3),2) sin α
【解析】 根据两角差的余弦公式A，B，C都是正确的，而对于D，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) ＝cs αcs eq \f(π,6) ＋sin αsin eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) cs α＋ eq \f(1,2) sin α，故D的化简是错误的．
2．已知cs (α＋β)cs β＋sin (α＋β)sin β＝－ eq \f(4,5) ，且180°<α<270°，则sin α等于( B )

A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,5)
C． eq \f(4,5) D．－ eq \f(4,5)
【解析】 cs (α＋β)cs β＋sin (α＋β)sin β
＝cs [(α＋β)－β]＝－ eq \f(4,5) ，
即cs α＝－ eq \f(4,5) .因为180°<α<270°，所以sin α＝－ eq \f(3,5) .
3．已知sin α＝ eq \f(3,5) ，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)) 的值为( B )
A．－ eq \f(\r(2),5) B．－ eq \f(\r(2),10)
C．－ eq \f(7\r(2),10) D．－ eq \f(7\r(2),5)
【解析】 由条件可得cs α＝－ eq \f(4,5) ，
∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)) ＝ eq \f(\r(2),2) cs α＋ eq \f(\r(2),2) sin α＝ eq \f(\r(2),2) (cs α＋sin α)
＝ eq \f(\r(2),2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5))) ＝－ eq \f(\r(2),10) ，故选B.
4．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))) ＝cs α，则tan α等于( D )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．－ eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3)
【解析】 因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))) ＝cs αcs eq \f(π,3) ＋sin αsin eq \f(π,3)
＝ eq \f(1,2) cs α＋ eq \f(\r(3),2) sin α＝cs α，
所以 eq \f(\r(3),2) sin α＝ eq \f(1,2) cs α，所以 eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
即tan α＝ eq \f(\r(3),3) .
5．已知锐角α，β满足cs α＝ eq \f(3,5) ，cs (α＋β)＝－ eq \f(5,13) ，则cs (2π－β)的值为( A )
A． eq \f(33,65) B．－ eq \f(33,65)
C． eq \f(54,65) D．－ eq \f(54,65)
【解析】 ∵α，β为锐角，cs α＝ eq \f(3,5) ，cs (α＋β)＝－ eq \f(5,13) ，
∴sin α＝ eq \f(4,5) ，sin (α＋β)＝ eq \f(12,13) ，∴cs (2π－β)＝cs β＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13))) × eq \f(3,5) ＋ eq \f(12,13) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(33,65) .故选A.
6．若sin α＋sin β＝1－ eq \f(\r(3),2) ，cs α＋cs β＝ eq \f(1,2) ，则cs (α－β)的值为( B )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(\r(3),4) D．1
【解析】 由题意得，(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝2－ eq \r(3) ，即2＋2sin αsin β＋2cs αcs β＝2－ eq \r(3) ，所以2sin αsin β＋2cs αcs β＝－ eq \r(3) ，即sin αsin β＋cs αcs β＝－ eq \f(\r(3),2) ，所以cs (α－β)＝－ eq \f(\r(3),2) .
二、填空题
7．cs 75°cs 15°－sin 255°sin 15°＝__ eq \f(1,2) __．
【解析】 cs 75°cs 15°－sin 255°sin 15°＝cs 75°cs 15°－sin (180°＋75°)sin 15°＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°＝cs (75°－15°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2) .
8．cs (x＋270°)cs (x－180°)＋sin (x＋270°)sin (x－180°)的值为__0__．
【解析】 原式＝cs [(x＋270°)－(x－180°)]＝cs 450°＝cs (360°＋90°)＝cs 90°＝0.
9．cs 105°＝__ eq \f(\r(2)－\r(6),4) __．
【解析】 cs 105°＝cs (150°－45°)＝cs 150°cs 45°＋sin 150°sin 45°＝－ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2)－\r(6),4) .
10．若cs (α－β)＝ eq \f(1,4) ，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝__ eq \f(5,2) __．
【解析】 (sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝2＋2(cs αcs β＋sin αsin β)＝2＋2cs (α－β)＝2＋2× eq \f(1,4) ＝ eq \f(5,2) .
11．在△ABC中，若sin (A＋B)＝ eq \f(4,5) ，cs B＝－ eq \f(2,3) ，则sin B＝__ eq \f(\r(5),3) __，cs A＝__ eq \f(6＋4\r(5),15) __．
【解析】 在△ABC中，因为cs B＝－ eq \f(2,3) ＜0，
所以B为钝角，则sin B＝ eq \f(\r(5),3) ，所以A＋B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) .
由sin (A＋B)＝ eq \f(4,5) ，得cs (A＋B)＝－ eq \f(3,5) ，
所以cs A＝cs [(A＋B)－B]＝cs (A＋B)cs B＋sin (A＋B)·sin B＝－ eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(\r(5),3) ＝ eq \f(6＋4\r(5),15) .
三、解答题
12．若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，且sin x＝ eq \f(4,5) ，求2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3))) ＋2cs x的值．
解：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，sin x＝ eq \f(4,5) ，所以cs x＝－ eq \f(3,5) .
所以2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3))) ＋2cs x
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x cs \f(2π,3)＋sin x sin \f(2π,3))) ＋2cs x
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x)) ＋2cs x
＝ eq \r(3) sin x＋cs x＝ eq \f(4\r(3),5) － eq \f(3,5) ＝ eq \f(4\r(3)－3,5) .
[B级 素养养成与评价]
13． eq \a\vs4\al(【多选题】) 若 eq \f(1,2) sin x＋ eq \f(\r(3),2) cs x＝cs (x＋φ)，则φ的一个可能值是( AC )
A．－ eq \f(π,6) B．－ eq \f(π,3)
C． eq \f(11,6) π D． eq \f(π,3)
【解析】 eq \f(1,2) sin x＋ eq \f(\r(3),2) cs x＝cs eq \f(π,6) cs x＋sin eq \f(π,6) sin x
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(11,6)π)) ，
∴φ可以为－ eq \f(π,6) ，也可以为 eq \f(11,6) π.
14．若cs (α－β)＝ eq \f(\r(5),5) ，cs 2α＝ eq \f(\r(10),10) ，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( C )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C． eq \f(3π,4) D． eq \f(5π,6)
【解析】 cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β)) ＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)) cs 2α＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)) sin 2α＝ eq \f(\r(2),10) － eq \f(6\r(2),10) ＝－ eq \f(\r(2),2) .又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝ eq \f(3π,4) .
15．已知cs α＝ eq \f(1,7) ，cs (α－β)＝ eq \f(13,14) ，且0＜β＜α＜ eq \f(π,2) ，求β的值．
解：由cs α＝ eq \f(1,7) ，0＜α＜ eq \f(π,2) ，
得sin α＝ eq \r(1－cs2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4\r(3),7) .
由0＜β＜α＜ eq \f(π,2) ，得0＜α－β＜ eq \f(π,2) .又因为cs(α－β)＝ eq \f(13,14) ，
所以sin (α－β)＝ eq \r(1－cs2（α－β）) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3\r(3),14) .所以csβ＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)＝ eq \f(1,7) × eq \f(13,14) ＋ eq \f(4\r(3),7) × eq \f(3\r(3),14) ＝ eq \f(1,2) ，所以β＝ eq \f(π,3) .
16．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) .
(1)求 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))－2sin （π－α）cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))),2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋sin（α＋π）) 的值；
(2)若－ eq \f(π,2) <β<0，且sin β＝－ eq \f(\r(10),10) ，求cs (α－β)的值．
解：(1)依题意，设P(x，y)，则x＝ eq \f(\r(5),5) ，y＝ eq \f(2\r(5),5) ，
则点P到原点的距离r＝ eq \r(x2＋y2) ＝1，
所以cs α＝ eq \f(\r(5),5) ，sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，
所以 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))－2sin （π－α）cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))),2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋sin（α＋π）)
＝ eq \f(sin α－2sin αcs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α)),2sin2α－sinα)
＝ eq \f(sin α＋2sin αcs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),2sin2α－sinα)
＝ eq \f(sin α＋2sin2α,2sin2α－sinα)
＝ eq \f(1＋2sin α,2sin α－1) ＝ eq \f(21＋8\r(5),11) .
(2)因为－ eq \f(π,2) <β<0，sin β＝－ eq \f(\r(10),10) ，所以cs β＝ eq \f(3\r(10),10) ，
所以cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝ eq \f(\r(5),5) × eq \f(3\r(10),10) ＋ eq \f(2\r(5),5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10))) ＝ eq \f(\r(2),10) .