数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质练习题

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质练习题，共6页。

A．－eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)
2．满足csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝eq \f(13,12)π，β＝eq \f(3,4)πB．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)
C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6)D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)
3．在△ABC中，若csA＝eq \f(3,5)，csB＝－eq \f(5,13)，则cs (A－B)＝( )
A．－eq \f(16,65)B．eq \f(33,65)
C．eq \f(56,65)D．－eq \f(63,65)
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且csα＝eq \f(12,13)，sinβ＝－eq \f(3,5)，则cs (α－β)＝( )
A．－eq \f(63,65)B．－eq \f(33,65)
C．eq \f(63,65)D．eq \f(33,65)
5．在直角坐标系中，若角α的终边绕原点O逆时针旋转eq \f(π,3)得到角θ.已知角θ的终边经过P(－eq \f(3,5)，eq \f(4,5))，则csα＝( )
A．eq \f(4\r(3)＋3,10)B．eq \f(4\r(3)－3,10)
C．eq \f(4－3\r(3),10)D．eq \f(4＋3\r(3),10)
6．(多选)若α∈[0，2π]，sineq \f(α,3)sineq \f(4α,3)＋cseq \f(α,3)cseq \f(4α,3)＝0，则α的值是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,2)D．eq \f(3π,2)
7．化简cs20°cs (α＋20°)－sin200°sin (α＋20°)，得其结果为________．
8．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则csθ＝________．
9.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是eq \f(\r(10),10)，求cs (α－eq \f(3π,4))的值．
10．已知sinα＝eq \f(15,17)，csβ＝－eq \f(5,13)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，β∈(eq \f(π,2)，π)，求cs (α－β)的值．
11.若csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ，且α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(eq \f(π,2)，π)，则α－β的值是( )
A．－eq \f(π,6)B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)D．eq \f(π,3)
12．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，则cs (α－β)＝( )
A．－eq \f(1,2)B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,4)
13．已知α∈(eq \f(π,2)，π)，且sin (α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,5)，则csα＝( )
A．eq \f(2\r(2)－\r(42),10)B．eq \f(4\r(2)－\r(42),10)
C．eq \f(2\r(2)＋\r(42),10)D．eq \f(2\r(2)－\r(21),10)
14．(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是( )
A．每一个直角三角形的面积为eq \f(5,4)
B．3sinβ－3csα＝2
C．3sinβ－3sinα＝2
D．cs (α－β)＝eq \f(5,9)
15.已知sin (α＋2β)＝eq \f(4\r(3),7)，cs (2α＋β)＝－eq \f(11,14)，α∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，β∈(－eq \f(π,4)，0)，则α－β＝________．
16．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－6，8).
(1)求sin (α＋eq \f(π,2))的值；
(2)若角β满足cs (α＋β)＝eq \f(12,13)，求csβ的值．
课时作业59
1．解析：sin20°cs10°＋sin70°sin10°＝cs70°cs10°＋sin70°sin10°＝cs (70°－10°)＝cs60°＝eq \f(1,2).故选D.
答案：D
2．解析：由csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ，
得csαcsβ＋sinαsinβ＝cs (α－β)＝eq \f(\r(3),2)，
选项A，α＝eq \f(13,12)π，β＝eq \f(3,4)π，cs (α－β)＝cseq \f(4π,12)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，所以不正确；
选项B，α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)，cs (α－β)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，所以正确；
选项C，α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6)，cs (α－β)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，所以不正确；
选项D，α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)，cs (α－β)＝cseq \f(π,12)≠eq \f(\r(3),2)，所以不正确．故选B.
答案：B
3．解析：因为在△ABC中，csA＝eq \f(3,5)，csB＝－eq \f(5,13)，则sinA＝eq \f(4,5)，sinB＝eq \f(12,13)，cs (A－B)＝csAcsB＋sinAsinB＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(33,65).故选B.
答案：B
4．解析：∵α为锐角，且csα＝eq \f(12,13)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13).∵β为第三象限角，且sinβ＝－eq \f(3,5)，∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).故选A.
答案：A
5．解析：依题意，r＝|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝1，因此sinθ＝eq \f(4,5)，csθ＝－eq \f(3,5)，又角α的终边绕原点O逆时针旋转eq \f(π,3)得到角θ，则α＝θ－eq \f(π,3)，所以csα＝cs (θ－eq \f(π,3))＝csθcseq \f(π,3)＋sinθsineq \f(π,3)＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3)－3,10).故选B.
答案：B
6．解析：因为α∈[0，2π]，sineq \f(α,3)sineq \f(4α,3)＋cseq \f(α,3)cseq \f(4α,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4α,3)－\f(α,3)))＝csα＝0，则α＝eq \f(1,2)π或α＝eq \f(3π,2).故选CD.
答案：CD
7．解析：cs20°cs (α＋20°)－sin200°sin (α＋20°)
＝cs20°cs (α＋20°)－sin (180°＋20°)sin (α＋20°)
＝cs20°cs (α＋20°)＋sin20°sin (α＋20°)
＝cs [(α＋20°)－20°]
＝csα.
答案：csα
8．解析：因为cs (θ＋eq \f(π,3))＝1，所以sin (θ＋eq \f(π,3))＝0，所以csθ＝cs (θ＋eq \f(π,3)－eq \f(π,3))＝cs (θ＋eq \f(π,3))cseq \f(π,3)＋sin (θ＋eq \f(π,3))sineq \f(π,3)＝1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．解析：由已知得sinα＝eq \f(\r(10),10)，从而csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3\r(10),10)，
于是cs(α－eq \f(3π,4))＝csαcseq \f(3π,4)＋sinαsineq \f(3π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×(－eq \f(\r(2),2))＋eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(5),5).
10．解析：∵sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，∴csα＝－eq \f(8,17).
又csβ＝－eq \f(5,13)，β∈(eq \f(π,2)，π)，∴sinβ＝eq \f(12,13).
∴cs (α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝－eq \f(8,17)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \f(15,17)×eq \f(12,13)＝eq \f(220,221).
11．解析：由csαcsβ＝eq \f(\r(3),2)－sinαsinβ，可得csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(\r(3),2)，即cs (α－β)＝eq \f(\r(3),2)，因为α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(eq \f(π,2)，π)，所以α－β∈(－π，0)，所以α－β＝－eq \f(π,6).故选A.
答案：A
12．解析：因为sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，所以sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝eq \f(9,25) ①，
因为csα＋csβ＝eq \f(4,5)，所以cs2α＋cs2β＋2csαcsβ＝eq \f(16,25) ②，
①＋②得2＋2cs (α－β)＝1，
∴cs (α－β)＝－eq \f(1,2).故选A.
答案：A
13．解析：因为α∈(eq \f(π,2)，π)，所以α＋eq \f(π,4)∈(eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)).
又sin (α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,5)，
所以cs (α＋eq \f(π,4))＝－eq \r(1－sin2（α＋\f(π,4)）)＝－eq \f(\r(21),5)，
故csα＝cs [(α＋eq \f(π,4))－eq \f(π,4)]
＝cs (α＋eq \f(π,4))cseq \f(π,4)＋sin (α＋eq \f(π,4))sineq \f(π,4)
＝－eq \f(\r(21),5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(2,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2\r(2)－\r(42),10).故选A.
答案：A
14．解析：对于A，4个直角三角形的面积之和为9－4＝5，故每个直角三角形的面积为eq \f(5,4)，故A正确；
对于B、C，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sinβ－3csβ＝2，由于α，β互余，所以3sinβ－3sinα＝2，故B错误，C正确；
对于D，3csα－3sinα＝2 ①，3sinβ－3csβ＝2 ②，且csα＝sinβ，sinα＝csβ，4＝9csαsinβ＋9sinαcsβ－9csαcsβ－9sinαsinβ＝9sin2β＋9cs2β－9cs(α－β)＝9－9cs (α－β)，故cs (α－β)＝eq \f(5,9)，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
15．解析：因为α∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，β∈(－eq \f(π,4)，0)，
则eq \f(π,4)<2α＋β<π，－eq \f(π,4)<α＋2β所以，cs (α＋2β)＝eq \r(1－sin2（α＋2β）)＝eq \f(1,7)，
sin(2α＋β)＝eq \r(1－cs2（2α＋β）)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以，cs(α－β)＝cs [(2α＋β)－(α＋2β)]
＝cs (2α＋β)cs (α＋2β)＋sin (2α＋β)sin (α＋2β)
＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2)，
因此，α－β＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
16．解析：(1)由角α的终边过点P(－6，8)，
可得sinα＝eq \f(4,5)，csα＝－eq \f(3,5)，
所以sin (α＋eq \f(π,2))＝csα＝－eq \f(3,5).
(2)由cs (α＋β)＝eq \f(12,13)，可得sin (α＋β)＝±eq \f(5,13)，
由β＝(α＋β)－α，得csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)csα＋sin (α＋β)sinα，
当sin (α＋β)＝eq \f(5,13)时，csβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＝－eq \f(16,65)，
当sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)时，csβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(4,5)＝－eq \f(56,65)，
所以csβ＝－eq \f(16,65)或csβ＝－eq \f(56,65).
基础强化
能力提升