专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一　充分条件与必要条件

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)几点说明

知识点二　充要条件

(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

知识点三 全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．

知识点四 含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；

(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

【知识拓展】

1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

①若AB，则p是q的充分不必要条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若AB，则p是q的必要不充分条件；

④若A＝B，则p是q的充要条件；

⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

三、重难点题型突破

重难点1 充分必要条件的判断

例1（1）.（2019·全国高一课时练习）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也必要条件

【答案】B

【解析】当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，

若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，

即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件。故选B

（2）.（2019·全国高一课时练习）已知，，则是的（   ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由已知，反之不成立，得是的充分不必要条件，所以正确选项为A.

（3）.（2012·全国高二课时练习）三个数不全为零的充要条件是（　　）

A．都不是零 B．中至多一个是零

C．中只有一个为零 D．中至少一个不是零

【答案】D

【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零。选D.

【变式训练1】（1）.（2019·全国高一课时练习）设集合A＝{x|x（x﹣1）＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．

【答案】充分不必要

【解析】由于A＝{x|0＜x＜1}，则A⊊B，由m∈B不能推出m∈A，如x＝2时，故必要性不成立．反之，根据A⊊B，“m∈A”⇒“m∈B”．所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要

（2）.（2020·全国高一课时练习）“”是“一元二次方程”有实数解的（   ）

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分必要条件

【答案】A

【解析】方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．

重难点2 充分必要条件的应用（求参数的取值范围）

例2．（2019·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是    （   )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.

【变式训练1】．（2019·全国高一课时练习）已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】根据题意，是的必要不充分条件，

则且，得

当时，，满足题意；

当时，，满足题意.

所以，实数的取值范围是.

重难点3 全称命题与存在命题真假的判断

例3．在下列给出的四个命题中，为真命题的是　　

A.，， B.，，

C.，， D.，，

【答案】B

【解析】，若，则不成立，故错误，

，当时，恒成立，故正确，

，当时，不成立，故错误，

，若，则不成立，故错误，

故选

【变式训练1】．（2019·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是    （   )

A.是全称量词命题，假命题 B.是全称量词命题，真命题

C.是存在量词命题，假命题 D.是存在量词命题，真命题

【答案】A

【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.

【变式训练2】．（2019·全国高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）：；

（2）至少有一个实数，使得.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）否定是，因为，所以否定后的命题是一个真命题.

（2）否定是，是假命题，如：时，.

重难点4 全称命题与存在命题的否定

例4．（2019·全国高一课时练习）已知命题：“，有成立”，则命题为（  ）

A．，有成立 B．，有成立

C．，有成立 D．，有成立

【答案】B

【解析】特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.

【变式训练1】．（2020·全国高一）命题“”的否定为：_______________.

【答案】

【解析】故答案为：.

【变式训练2】．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）命题“，”的否定为________．

【答案】，

【解析】由题意可知，命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

重难点5 全称命题与存在命题的应用（求参数的取值范围）

例5. 若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是(  )

A.                B.           C.(4,              D. [4,

【答案】B

【解析】因为命题“存在”的否定是“对任意”．命题的否定是真命题，则．故选B.

【变式训练1】． （2020届江苏泰州中学、宜兴中学、江都中学12月联考）若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ）

A.               B.          C.(1,              D. [1,

【答案】A

【解析】“，使得成立”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题．因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即．故答案为：．故选A.

【变式训练2】．（2020山东高考模拟）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为命题“，”是真命题，所以时，；由得，故选：A.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（    ）

A．任何一个实数乘以零都等于零    B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员   D．每一个实数都有大小

【答案】C

【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；

B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；

C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；

D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.

2．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题，命题；则是的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为，所以，所以是的充分条件；

因为当时， 可能为1，也可能为1，不一定有，

所以不是的必要条件，所以是的充分不必要条件，故选：C

3．（2020·全国高一）“且”是“”的 （    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

当且时，成立，

反过来，当时，例：，不能推出且.

所以“且”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．（2020·全国高一）下列四个命题中的真命题为（   ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对A．当时，，故A错误；

对B．当时，，此时，故错误；

对C．，正确；

对D．当时，，故错误．故选：C．

5. （多选题2020·济南市历城第二中学高一月考）下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若,则”的否定是“ 存在,则”.

C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件              

D．设,则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；

选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；

选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；

选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.故选：ABD

6．（2019·全国高一课时练习）若非空集合A、B、C满足，且B不是A的子集，则（    ）．

A．“”是“”的充分条件但不是必要条件；

B．“”是“”的必要条件但不是充分条件；

C．“”是“”的充要条件；

D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件；

【答案】B

【解析】由非空集合A、B、C满足，且B不是A的子集，

若“”这个元素既可能来自集合，也可能来自集合，

故“”“”不成立；“” “”成立，

即“”是“”的必要条件但不是充分条件故选：B．

7．（2020·上海高一课时练习）记全集为，“”的充要条件是“________”.

【答案】A

【解析】若，则若，则.

因此，“”是“”的充要条件.故答案为：.

8．（2020·全国高一）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：

(1)任意实数的平方大于或等于0；

(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；

(3)存在整数x，y，使得；

(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.

【答案】(1).真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；

(3)假命题；

(4)，真命题.

【解析】

 (1)，是真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；

(3)假命题,因为必为偶数；

(4).真命题,例如.

9．（2020·全国高一课时练习）下列各题中，是的什么条件？

（1）为自然数，为整数；

（2）；

（3）；

（4）：四边形的一组对边相等，：四边形为平行四边形；

（5）：四边形的对角线互相垂直，：四边形为菱形.

【答案】（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）必要不充分条件.

【解析】

为自然数,则一定为整数,即可以推出,反过来,为整数,则不一定是自然数,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;

则不一定成立,例如,即不能推出,反过来,则一定成立，即可以推出,故是的必要不充分条件;

则一定成立,即可以推出,反过来,则不一定成立,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;

一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形,反过来,平行四边形的一组对边相等成立,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;

对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,有可能为等腰梯形,反过来,菱形的对角线一定互相垂直,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;

10．(2020宿迁中学月考)设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．              

【解析】q是p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，

因为a>0，所以A＝(a,4a)，又B＝(2,5]，则a≤2且4a>5，解得<a≤2.

所以实数a的取值范围为.