专题3.4 函数的应用（一）-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题3.4  函数的应用（一）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)

A．820元　　　　　　　 B．840元

C．860元 D．880元

【答案】C

【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．

2．（2020·吉林东北师大附中高一月考）把长为6厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设其中一个正三角形的边长为，面积之和为，则另一个正三角形的边长为，

，当时，取最小值为.故选:D.

3．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)

A．10.5万元 B．11万元

C．43万元 D．43.025万元

【答案】C

【解析】设该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋32.因为x∈ [0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，利润最大，最大利润为43万元．

4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（    ）

A．15 B．40 C．25 D．13

【答案】C

【解析】令，若，则，不合题意；

若，则，满足题意；若，则，不合题意．

故拟录用人数为25．故选：．

5．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为(　　)

A．13立方米 B．14立方米

C．18立方米 D．26立方米

【答案】A

【解析】由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝

由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m，解得x＝13.故选A.

6．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　)

A．5 m B．3.5 m

C．5.5 m D．7.5 m

【答案】D

【解析】　根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.

7.某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是(　　)

A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢

B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢

C．第三年后，这种产品停止生产

D．第三年后，年产量保持不变

【答案】AC

【解析】由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量

8．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．

则下列说法中，正确的有(　　)

A．图②的建议：提高成本，并提高票价

B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D．图③的建议：提高票价，并降低成本

【答案】BC

【解析】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．

【答案】360

【解析】由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．

10．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．

【答案】42

【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．

11.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.

某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．

【答案】20

【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，

则当m＝＝20时，y取最小值．

12.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是___.

【答案】200

【解析】设总利润为L(x),则L(x)=

则L(x)=

当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,

所以总利润最大时店面经营天数是200.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．

【解析】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.

∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．

(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.

当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；

当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；

当x>96时，y1<y2，使用“如意卡”便宜．

14．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：

f(t)＝

(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？

【解析】(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min.

(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，

所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中．

(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，

当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，

又28.57－4＝24.57＞24，

所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.

15．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第八个月公司所获得的利润．

【解析】(1)设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．

由题中函数图象过点D(1，－1.5)，C(2，－2)，A(5,2.5)，得，解得

∴所求函数关系式为S＝0.5t2－2t(t≥0)．

(2)把S＝30代入，得30＝0.5t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，

∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．

(3)第八个月公司所获得的利润为

0．5×82－2×8－0.5×72＋2×7＝5.5(万元)，

∴第八个月公司所获得的利润为5.5万元．

16.（2019·安徽六安一中高一月考）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与各自的资金投入（单位：万元）满足，．设甲大棚的资金投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元）．

（1）求的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入最大．

【解析】（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，

则由足，．

可得总收益为万元；

（2）根据题意，可知总收益为

满足，解得，

令，

所以

，

因为，

所以当即时总收益最大，最大收益为万元，

所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元.