专题10 函数的应用（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题10 函数的应用

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1. 求函数的零点；
2. 判断零点所在的区间；
3. 函数零点个数的判断；
4. 用二分法求函数的零点问题；
5. 一元二次方程根的分布问题；
6. 指数、对数函数型实际应用问题.

三、重难点题型突破

重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间

1、     二分法的概念

     对于在区间上连续不断且           的函数，通过不断地函数的零点所在的区间        ，使区间的两个端点                ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求                 。[来源:学|科|网Z|X|X|K]

2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）

（1）确定区间，使            。

（2）求区间的中点，         。

（3）计算

①   若，则       

②   若，则令（此时零点     ）；

③   若则令（此时零点     ）；

（4）继续实施上述步骤，直到区间       ，函数的零点总位于区间       上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。

例1．（2020·河北冀州中学模拟）函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)　 B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

【答案】B　

【解析】由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B。

【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（    ）

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

【答案】B

【解析】函数是上的增函数,是上的增函数,

故函数是上的增函数.

,,

则时,;时,,

因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B.

【变式训练1-2】．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为 (　　)

A．1.2　　 B．1.3

C．1.4　　 D．1.5

【答案】C

【解析】依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．

【变式训练1-3】．（2020·山西忻州一中模拟）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内              B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内            D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

【答案】A　

【解析】∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A。

重难点题型突破2 方程的根与函数的零点

1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的      .

2.函数的零点就是方程 的     ，也就是函数 的图像与x轴的交点的       .

3.方程 有实根函数的图像与x轴有       函数 有           .

4.函数零点的存在性的判定方法

5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有     0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得     0，这个c就是方程的根.

例2．（1）函数的零点个数为（    ）

A．1      B．2       C．3       D．4

【答案】B

【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．

（2）函数的零点个数为

A．0        B．1          C．2         D．3

【答案】B

【解析】因为在内单调递增，又，

所以在内存在唯一的零点．

【变式训练2-1】．（2020·北京大兴高三期末）已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.

【答案】       

【解析】

当时，，当时，，

当时，，故时，的值域为；

当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，

的图像如图所示，由图可知，，解之得，

故的取值范围是，故答案为：；.

【变式训练2-2】．（2019·浙江温州高一期中）已知，函数，当时，不等式的解集为________，若函数与轴恰有两个交点，则的取值范围是________

【答案】       

【解析】

当时，，

∵，∴或，解得或，

则当时，不等式的解集为；

画出函数和的草图得：

由图可知，函数与轴恰有两个交点时，或；

故答案为：；．

【变式训练2-3】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

【答案】C

【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.

重难点题型突破3 几种常见的函数模型

【特别提醒】

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

例3．（2020·全国高一课时练习）（1）若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A． B．y＝(0.957 6)100x

C． D．y＝1－(0.042 4)

【答案】A

【解析】

设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.957 6) ，

∴y＝(1－t)x＝(0.957 6) ,故选A.

（2）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如表所示：

根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，

因此A、B不符合题意，当x取1，4时，的值分别为，与表中数据相差较大.故选：C.

（3）（2020·广西柳州高级中学期中）某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y=100x B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x D.y=100log2x+100

【答案】C

【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型.

【变式训练3-1】．某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015

年为第1年，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：

现有三种函数模型：，，.

（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；

（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.

【答案】（1）模型为较好，理由见解析，相应的函数为；（2）8.05万件.

【解析】（1）符合条件的函数模型是.若模型为，

由已知得，∴，，∴

所以，，与已知差距较大；

若模型为，为减函数，与已知不符；

若模型为，由，∴，，

∴，所以，，与已知符合较好.

所以相应的函数为.

（2）2020年预计年产量为

，所以2020年产量应为8.05万件.

重难点题型突破4 实际应用问题

例4．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．

（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；

（2）写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；

（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)

【答案】（1）1166个；（2），；（3）15年.

【解析】（1）依题意，一年后这种鸟类的个数为，

两年后这种鸟类的个数为.

（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，

则所求的函数关系式为，.

（3）令，得：两边取常用对数得：，即

考虑到，故，故

因为

所以

约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上.

【变式训练4-1】．（2020·四川绵阳一中模拟）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

【解析】(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝.

解得x＝1－.

(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即＝，

即＝，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

【答案】B　

【解析】由题意知，函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数，因为f(1)<0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln >0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)，故选B．

2．已知实数是函数的一个零点，若，则(   )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为与是增函数，则在上递增，且，因此，当时，有，即.故选：B

3．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.由于一元二次方程的两根均大于，则，解得，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

4．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C　

【解析】令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2，故选C．

5．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)　　 B．(1，2)

C．(2，3)   D．(3，4)

【答案】B　

【解析】∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，

∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

6．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.

【答案】5

【解析】

因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.故答案为5.

7．函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3   B．2

C．7   D．0

【答案】B　

【解析】(直接法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．

8．（2020·全国高一课时练习）求函数零点的个数.

【答案】个.

【解析】

因为，

所以，，

由零点存在性定理，得到在区间内有零点，

又因为函数在定义域内是增函数，

所以它仅有一个零点.

9．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．

（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；

（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为，

单调减区间为；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；

②当时，，因为是奇函数，所以．

所以.

综上：                

（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）

单调增区间：

单调减区间：                    

（Ⅲ）∵方程有三个不同的解

 ∴                 

∴ 

10（2020·云南曲靖一中模拟）已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝求该服装厂所获得的最大效益是多少元？

【解析】设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝

当0<x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.

当20<x≤180时，f(x)＝9 000x－300·x，则f′(x)＝9 000－450·，

令f′(x)＝0，得x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.

由于120 000<240 000.

故该服装厂所获得的最大效益是240 000元．