专题07 幂函数、函数的应用（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题07 幂函数、函数应用（重难点突破）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一  幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

三、重难点题型突破

重难点1 求幂函数的解析式

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．1或2 D．2

例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（    ）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．3

【变式训练1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　)

A．(0，1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0)

重难点2 幂函数的图像及其性质的应用

(二) 幂函数的图像及其性质的应用

1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

②幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

例4.（2020·山东临沂一中质检）幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1  D．2

例5．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．②

C．③ D．④

【变式训练1】．已知点在幂函数的图象上，设

，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

重难点3 复合函数

例6．（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)．

(1)求f(x)的表达式．

(2)解不等式

(3)当x∈(－3,4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．

例7．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.

（1）求a，k的值；

（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数满足.

（1）求的值及的解析式；

（2）试判断是否存在正数，使函数在区间 上的取值范围为区间 ?若存在，求出正数的值；若不存在，请说明理由.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．若幕函数的图像经过点，则该函数的图像（    ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称

2．幂函数图象过点，则（    ）

A． B． C． D．

3．幂函数的图象经过点，则是（    ）

A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数

4．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为(　　)

A．2 B．－1 C．－1或2 D．0

5．满足的实数m的取值范围是（    ）.

A． B． 

C． D．

6．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

7．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数的单调增区间为______.

8．（2020·上海高一课时练习）函数在区间上的值域为__________．

9．（2020·浙江省高二期中）幂函数的图像经过点，则_______.

10．（2020·上海高一课时练习）函数既是幂函数又是二次函数，则_________；函数既是幂函数又是反比例函数，则_________．

11．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.