专题4.5 函数的增长率-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题4.5   函数的增长率

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)

A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%

C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x

2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alog3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有(　　)

A．4 000只　　　　　　　　 B．5 000只

C．6 000只 D．7 000只

3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)

A．60安 B．240安

C．75安 D．135安

4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)

A．浮萍每月的增长率为1

B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2

C．浮萍每月增加的面积都相等

D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3

5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)

A．125  B．100    C．75  D．50

7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)

A．1.78       B．2.77       C．2.89      D．4.40

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．

9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.

10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．

11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：

从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；

(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．

（1）求p%的值；

（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？

14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.

（1）求常数的值；

（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）

15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：

已知第10天的日销售收入为121元.

（1）求的值；

（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.

（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.