2020-2021学年度高一数学全真模拟卷（二）解析版
展开2020-2021学年高一数学上学期期末考试全真模拟卷（二）
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁UM=( )
A．{x|-1<x<3} B．{x|-1≤x≤3}
C．{x|x<-1或x>3} D．{x|x≤-1或x≥3}
【答案】C
【详解】
由题意，全集，集合，所以或，
故选C.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为等价于或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
若函数在上递增，则只需满足，
解得：.
故选：B.
4．幂函数在时为减函数，则（ ）
A． B．2 C．0或1 D．或2
【答案】B
【详解】
因为幂函数在时为减函数，
所以，解得，
故选：B.
5．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】C
【详解】
由①可排除A；
由②图像关于直线对称，可得时,函数取最值，而可排除D；
由③，当时，，函数为增函数；
，函数为减函数，排除B；
故选：C.
6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
【答案】B
【详解】
解：由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离．
故选：．
7．已知且cosα<0，则角α为（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】B
【详解】
由，，可得，
，．
又，
角为第二象限的角．
故选：B
8．已知，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【详解】
，则，
故选：D.
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．
9．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】
对于选项A，令，其定义域为，且，故该函数是偶函数；当时，，此时函数单调递增，故A符合题意；
对于B，由函数的表达式，可得，解得，所以函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，二次函数的对称轴为轴，且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，令，其定义域为，且，故该函数为定义域上的偶函数；因为在上单调递增，且函数在上单调递增，根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，故D符合题意.
故选：ACD.
10．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】
因为，且，则为第四象限角，所以，
，A正确；，B正确；
，，，C不正确；
，D不正确；
故选：AB
11．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
故选AD.
12．关于函数，下列命题中正确的命题是（ ）
A．的表达式可改写为
B．是以为最小正周期的周期函数
C．的图像关于点对称
D．的图像关于直线对称
【答案】AC
【详解】
对于A选项，，故A选项正确.
对于B选项，，所以B选项错误.
对于CD选项，，故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是定义在上的奇函数，满足.若，则______.
【答案】
【详解】
由得，
又因为是定义在上的奇函数，
所以且，
所以，所以，
所以，
所以的周期是，
因为，所以，，，
所以在一个完整周期内的函数的和为，
所以，
故答案为：
14．已知正实数满足，则的最小值是__________，此时_________.
【答案】9
【详解】
由可得，
由，得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：9；.
15．已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________.
【答案】－
【详解】
因为α为钝角，所以cos＝－，
所以sin＝sin＝cos＝－.
故答案为：．
16．设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）
①的图象过点；
②在上单调递减；
③的一个对称中心是；
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
【答案】③
【详解】
函数的最小正周期是，所以，则，
又图象关于直线对称，
所以对称轴为，代入可得，解得，
因为，所以当时， ，则，
对于①，当时，，的图象不过点，所以①不正确；
对于②，的单调递减区间为，解得，
当时，，又因为，则在上不是减函数，所以②错误；
对于③，的对称中心为，解得，当时，，所以是的一个对称中心，所以③正确；
对于④，将向右平移个单位长度，可得，所以不能得到的图象，所以④错误.
综上可知，正确的为③.
故答案为: ③.
四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.
（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【详解】
（1）由不等式，可得，
当时，解得，即p为真时，，
由，可得，解得，即q为真时，，
若都为真时，实数x的取值范围是.
（2）由不等式，可得，
因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，
又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，
设，
因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
18．已知是R上的奇函数，且当时，；
求的解析式；
作出函数的图象不用列表，并指出它的增区间．
【详解】
(1)设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－x＋1．
又∵f(x)在x＝0处有意义，∴f(0)＝0．
∴．
(2)函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的增区间为，．
19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）（*）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【详解】
（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，因为，所以，所以函数，
令，解得，
可函数的递减区间为，
再结合，可得函数的减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
20．已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
【详解】
（1）
由可得：.
.
（2）由余弦定理得：，整理可得：，
，，
又，，，
，则，
，即的取值范围为.
21．函数，其中，，且对于任意，都有.
（1）求和；
（2）当时，求的值域.
【详解】
（1）因为恒成立，
所以是函数的最大值，是函数的最小值，
所以，.①
，.②
①-②得：，所以
因为，，所以.
又因为，
即，所以.
（2），
当时，，
所以，从而
即函数的值域是.．
22．已知函数，()
（1）当函数取得最大值时，求自变量的取值集合；
（2）用五点法做出该函数在上的图象；
（3）写出函数单调递减区间.
【详解】
，
（1）当时，取得最大值，此时，
的取值集合为；
（2）由题意可得表格如下：
可得图象如下图所示：
（3）令，解得：，
的单调递减区间为.
