专题13 函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题13 函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

考点一  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

考点二  函数与函数的性质

函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：

（1）定义域：；

（2）值域：；

（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．

（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．

（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．

三、重难点题型突破

重难点题型突破1 “五点法作图”画函数的图象

例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数

（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为

（2）请描述上述函数图象可以由函数y＝sinx怎样变换而来？

【变式训练1-1】、（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间上的图象(只作图不写过程)．

重难点题型突破2 函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换

例2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin B．y＝sin

C．y＝sin D．y＝sin

【变式训练2-1】、将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则     ．

【变式训练2-2】、若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)

A． (k∈Z)

B. (k∈Z)

C． (k∈Z)

D. (k∈Z)

【变式训练2-3】、（多选题）将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f(x)的图象，下列关于y＝f(x)的说法正确的是(　　)[来源:Z#xx#k.Com]

A．y＝f(x)的最小正周期为4π

B．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学&科&网]

C．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝4cos

D．y＝f(x)的图象关于中心对称

【变式训练2-4】、（多选题）要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（　　）

A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 

B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 

C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 

D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

重难点题型突破3 由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式

例3．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则(　　)

A．φ＝ B．φ＝

C．A＝2 D．A＝3

【变式训练3-1】、（多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称轴心

【变式训练3-2】、已知函数f(x)＝Asin，f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．

重难点题型突破4三角函数的综合应用

例4．已知函数f（x）＝2sin（2x）+a，a为常数

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

【变式训练4-1】、已知函数的一系列对应值如下表：

（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；

（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.

【变式训练4-2】、函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)是否存在实数m，满足不等式Asin >Asin？若存在，求出m的范围(或值)；若不存在，请说明理由．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，

矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧

田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，

公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现

有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的

面积为，则∠AOB＝（　　）

A． B． C． D．

2．（多选题）函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2），则（　　）

A．a+b＝π B． C． D．

3．（多选题）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）的部分图象如图所

示，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）的图象关于直线对称 

B．函数f（x）的图象关于点对称 

C．函数f（x）在区间上单调递增 

D．函数y＝1与y＝f（x），的图象的所有交点的横坐标之和为

4．已知函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）＝　　．

5．(本小题满分12分)已知函数f（x）＝sin（2x）+1．

（1）用“五点法”作出f（x）在上的简图；

（2）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；

（3）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

6、6、如图，已知函数y＝2sin（πx+φ）（x∈R，其中）的图象与y轴交于点（0，1）．

（1）求φ的值；

（2）求函数y＝2sin（πx+φ）的单调递增区间；

（3）求使y≥1的x的集合．