专题25.4 概率的计算（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题25.4  概率的计算（知识讲解）

【学习目标】

1、  通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

2、  能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.

【要点梳理】

要点一、古典概型

 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

（1）       一次试验中，可能出现的结果是有限的；

（2）       一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.

要点二、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1. 列表法：

　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

要点三、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

【典型例题】

类型一、用列举法求概率

1．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.

故选C.

【点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．

举一反三：

【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有16种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

解：∵由题意，共16-3=13种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下5个图所示的5种情况，

∴概率为：；

故选：B．

【点拨】本题考查了求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=．

【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据菱形的表示出菱形ABCD的面积，由折叠可知EF是△BCD的中位线，从而可表示出菱形CEOF的面积，然后根据概率公式计算即可.

解：菱形ABCD的面积=,

∵将菱形沿EF折叠,使点C与点O重合,

∴EF是△BCD的中位线,

∴EF= ,

∴菱形CEOF的面积= ，

∴阴影部分的面积=，

∴此点取自阴影部分的概率为: .

故选C..

【点拨】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：.

2.我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：

（1）本次一共调查了_________名学生；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.

【答案】（1）50；（2）见解析；（3）．

【分析】

(1) 本次一共调查：15÷30%;(2)先求出B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7，再画图；（3）先列表，再计算概率.

解：（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；

故答案为50；

（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12，

如图所示：

（3）列表：

∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，

∴P（选中A、B）==．

【点拨】本题考核知识点：统计初步，概率. 解题关键点：用列表法求概率.

举一反三：

【变式】垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．

运动员甲测试成绩表

（1）写出运动员甲测试成绩的众数为_____；运动员乙测试成绩的中位数为_____；运动员丙测试成绩的平均数为_____；

（2）经计算三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8，请综合分析，在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？

（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）

【答案】7 7 6.3    乙运动员更合适       

【分析】

（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）；
（2）易知 =7（分），=7（分），=6.3（分），根据题意，由方差的值选择，不难判断；
（3）画出树状图，即可解决问题；

解：（1）甲运动员测试成绩的众数和乙运动员测试成绩的中位数都是7分．

运动员丙测试成绩的平均数为： =6.3（分）

故答案是：7；7；6.3；

（2）∵甲、乙、丙三人的众数为7；7；6

甲、乙、丙三人的中位数为7；7；6

甲、乙、丙三人的平均数为7；7；6.3

∴甲、乙较丙优秀一些，

∵S甲2＞S乙2

∴选乙运动员更合适．

（3）树状图如图所示，

第三轮结束时球回到甲手中的概率是p=．

【点拨】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键

类型二、利用频率估计概率

3. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由频率定义即可得出答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案.

解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；

（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.

【点拨】此题考查事件概率：列举法求事件的概率，还考查了频率的定义，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键.

举一反三：
　【变式】一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．

（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．

【答案】（1）0.33，2；（2）．

【分析】

（1）通过表格中的数据，可以发现摸到白球的频率越稳定在0.33左右即可解答；再利用频率估计概率，最后利用概率的计算公式即可计算红球的个数；

（2）先根据题意画出树状图，然后由树状图确定所有等可能的结果和摸到一个白球一个红球的结果数，最后利用概率公式求解即可．

解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；

设红球由x个，由题意得：

，解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；

故答案为：0.33，2；

（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，

∴摸到一个白球一个红球的概率为：；

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了利用频率估计概率、运用树状图法求概率以及概率公式的应用，估算出摸到白球的概率成为解答本题的关键．

.     

4.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A．20 B．24 C．28 D．30

【答案】D

解：根据题意得=30%，解得n=30，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故选D．

考点：利用频率估计概率．

【变式】只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．

（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．

【答案】（1）0.33，2；（2）．

【分析】

（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；

设红球由个，由题意得：

，解得：，经检验：是分式方程的解；

故答案为：0.33，2；

（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，

∴摸到一个白球一个红球的概率为：；

故答案为：．

【点拨】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键；还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．