专题24.7 圆周角（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.7  圆周角（知识讲解）

【学习目标】

1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

【要点梳理】

1.   圆周角定义：
   　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
特别说明：

　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

   （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

【典型例题】

类型一、圆周角概念

1．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．

【答案】120

【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B．

解：如图，连结OB，

∵OA=OB=OC，

∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，

∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，

∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC

∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜

∴3∠ABC=360゜

∴∠ABC=120゜

即∠B=120゜．

故答案为：120．

【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键．

举一反三：

【变式1】 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________．

【答案】6    ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE   

【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.

解：根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.

故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.

【点拨】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

【变式2】顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．（______）

【答案】正确

 【分析】根据圆周角的概念进行判断即可得解.

解：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．

故答案为：正确.

【点拨】此题主要考查了圆周角的概念，正确理解概念是解此题的关键.

【变式3】 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和 ，则∠BAC的度数是________.

【答案】15°或75°

【解析】试题解析：如图，

作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM=AB，AN=AC，

∵弦AB、AC分别是、，

∴AM=，AN=；

∵半径为1∴OA=1；

∵

∴∠OAM=45°；

同理，∵，

∴∠OAN=30°；

∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN

∴∠BAC=75°或15°．

类型二、圆周角定理

2．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

【答案】见解析.

【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．

 解：如图，连接.

∵，

∴.

∴，即.

∴.

∴.

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，为的直径，点在上．

（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；

（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）如图所示；见解析；（2），．理由见解析.

【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；

（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD=∠BOD，则∠BOD=∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE=AC．

   解：（1）如图所示；

（2），．

理由如下：

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，．

【点拨】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．

【变式2】如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.

【答案】详见解析

 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=∠ACB，再由已知可得∠ADC=∠ADE，即DA平分．

   证明：，

.

，

.

，

，

即DA平分.

【点拨】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

【变式3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．

【答案】110°

【分析】先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．

解：∵∠BOD＝140°，

∴∠A＝∠BOD＝70°，

∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．

【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．

类型三、同弧或等弧所对的圆周角相等

3．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：

（1）四边形DBCF是平行四边形

（2）

【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；

（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．

   证明：（1），

，

，

，

又,

四边形是平行四边形．

（2）如图，连接

，

四边形是的内接四边形

【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；

（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）

【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）．

【分析】（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD；

（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.

 解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴＝．

∴∠BAC＝∠BCD．

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠ACO．

∴∠ACO＝∠BCD；

（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．

在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，

根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2

解得r＝13．

∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）．

【点拨】此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.

【变式2】如图所示，是锐角三角形的外接圆的半径，于点，求证：.

  【分析】作直径，则，分别位于和中，根据等角的补角相等即可得证.

解：延长交于，连结

∵是直径   

∴

∵于点   

∴

又在中  

∴.

【点拨】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.

【变式3】 如图，是的弦，半径，点在上，且．求的度数．

【答案】

【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解．

 解：∵，为半径，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．

类型四、 半圆或直径所对的圆周角等于90度

4．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．

（1）求证：△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．

 【解析】

（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．

解：（1）∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵△AEF为等边三角形，

∴∠CAB=∠EFA=60°，

∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B+∠FDB，

∴∠B=∠FDB=30°，

∴△DFB是等腰三角形；

（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，

∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM=a，

在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a，

∴AB=AF+BF=8a，

在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，

∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，

∴CF⊥AB．

举一反三：

【变式1】 如图，在中，．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作的垂直平分线，垂足为；

②以为圆心，长为半径作圆，交于（异于），连接；

（2）探究与的位置关系，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）（或垂直），理由见解析．

【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；

（2）根据圆周角定理即可得到．

 （1）解：如图，①作出的垂直平分线

②以点为圆心，长为半径作圆，连接

（2）（或垂直），理由如下:

∵是的直径

∴

∴．

【点拨】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．

【变式2】如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．

（1）求⊙O半径的长；

（2）求EC的长．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据垂径定理可得，再由勾股定理可求得半径的长；

（2）连接构造出，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理解即可求得答案．

 解：（1）∵，

∴

∴设的半径

∴

∵在中，

∴

∴

∴半径的长为．

（2）连接，如图：

∵是的直径

∴，

∵

∴在中，

∵

∴在中，

∴．

【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关键．

【变式3】 如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点．若，求的度数．

【答案】.

【分析】连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BAD，然后根据∠B与∠BAC互余即可求解.

  解：连接，

∵是直径，

∴，

∵点为的中点，，

∴，

∴在中，．

【点拨】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

类型五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆

5．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．

 【分析】连接BC，可得∠ACB＝90°，再根据∠ACF+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠ACF＝∠B，因为C为的中点，可得，可得∠B＝∠CAE，∠ACF＝∠CAE，即可得出结论.

  证明：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

即∠ACF+∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACF＝∠B，

∵C为的中点，

∴，

∴∠B＝∠CAE，

∴∠ACF＝∠CAE，

∴AF＝CF．

【点拨】本题考查圆周角相关的定理，在题中看到直径就可以想到，直径所对的圆周角是90°，题中有90°比较多的话，那么角之间的等量代换就可以用等角的余角相等，进行角之间的等量代换，虽然题中求证的是边相等，但是可以利用角相等进行转换.

举一反三：

【变式1】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，求作：⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

【答案】见解析

【分析】由于∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则在AB上截取AO＝AC＝1，然后以O点为圆心，OA为半径画圆即可．

 解：如图，⊙O为所作．

【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

【变式2】有一个未知圆心的圆形工件．现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画法．

 【分析】根据直径所对的圆周角是直角画图即可．

 解：如图，

（1）选择合适的直角三角板，用等腰直角三角板；

（2）用直角三角板的直角和圆上一点重合，沿两直角边划直线，连接两条直线与圆的交点，两圆之间的线段即为⊙O的直径；

（3）因为直角三角板上角的度数是一定的，所以过直角三角形的顶点向斜边作垂线即可．

斜边与垂线的交点即为该圆的圆心．

【点拨】本题是圆周角定理在实际生活中的运用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.