专题24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

 专题24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解点和圆的三种位置关系；
2. 理解并掌握点到圆心的距离d与圆的半径r的关系；
3. 运用点和圆的位置关系解决实际问题。
【要点梳理】
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有　　　　　　　　　　　　
　
　

　　

【典型例题】
　　类型一、判定点和圆的位置关系
　　1．如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
　　
　　【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上．
　　证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
　　∵∠B=∠D=90°，
　　∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD，
　　∴ A、B、C、D四点在同一圆上．
　　【点拨】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形.
　　举一反三：
　　【变式1】如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
　　（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为　 　；．
　　（2）根据（1）中的条件填空：
　　①圆D的半径=　 　（结果保留根号）；
　　②点（7，0）在圆D　 　（填“上”、“内”或“外”）；
　　③∠ADC的度数为　 　．
　　
　　【答案】（1）（2，0）；（2）①；②外；③90°；
　　【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据点到圆心的距离d=5即可判断点与圆的位置关系．
　　解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
　　可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
　　如图所示，
　　
　　则圆心D的坐标为（2，0）；
　　（2）①圆D的半径==2，
　　②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
　　∴d>r,故该点在圆D外；
　　③如图，由A(0,4), C(6,2)可知，∠ADC的度数为90°．
　　故答案为（2，0），2，外，90°．
　　【点拨】本题考查的是垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
　　【变式2】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
　　
　　【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析.
　　【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
　　解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
　　∵四边形ABCD是菱形，
　　∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
　　∵点E是AB的中点，
　　∴OE＝AB，
　　同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
　　∴OE＝OF＝OG＝OH，
　　∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
　　
　　【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.
　　【变式3】已知：如图，⊙的半径为5，在⊙所在的平面内有A、B、C三点。
　　（1）点A与⊙的位置关系是______________.
　　（2）线段OB的长等于_________.
　　（3）线段OC与OB的大小关系是：OC______OB(填“＜”、“＞”或“＝”).
　　
　　【答案】（1）点A在⊙内；（2）点A在⊙内；（3）＞.
　　【分析】根据点与圆的位置关系，结合图形解答即可.
　　解：（1）由图可知点A在⊙内；
　　 （2）由图可知点线段OB的长等于5；
　　 （3）由图可知OC>OB.
　　【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d 　　类型二、由点和圆的位置关系求半径
　2．以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半径r的取值范围.
　　【答案】5＜r＜13．
　　【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B，C，D与⊙A的位置，确定⊙A的半径的取值范围．
　　解：根据题意画出图形如下所示：
　　
∵AB=CD=5，AD=BC=12，
根据矩形的性质和勾股定理得到：AC==13．
∵AB=5，AD=12，AC=13，
而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，
∴点B在⊙A内，点C在⊙A外．
∴5＜r＜13．
故答案为：5＜r＜13．
　　【点拨】本题考查勾股定理，矩形的性质，能正确运用点和圆的位置关系分析问题是解题的关键．
　　【变式1】如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
　　求⊙O的半径；
　　
　　【答案】⊙O的半径为6cm.
　　【分析】过点O作OD⊥AB于点D，易得到PD=9cm，再利用勾股定理解题即可
　　解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
　　∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
　　在Rt△POD中，OD＝cm
　　在Rt△OBD中，OB＝cm
　　∴⊙O的半径为6cm.
　　
　　【点拨】考查圆内中勾股定理的运用，能够做出垂线是解题关键
　　【变式2】如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，
　　(1)求证：四边形OAO′B是菱形；
　　(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．
　　
　　(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称，
　　∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′．
　　又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB．
　　∴AO＝AO′＝BO＝BO′．∴四边形OAO′B是菱形．
　　(2)解：如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是
　　
　　N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M．
　　则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°．
　　∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN．
　　∴△OMP为等腰直角三角形．
　　当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1．
　　在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．
　　【点拨】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
　　(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案．
　　(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．
　　【变式3】已知的半径是．
　　（1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
　　（2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
　　（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___．
　　【答案】（1），；（2），；（3）或．
　　【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；
　　（2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；
　　（3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解．
　　解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是．
　　故答案是：，；
　　（2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是．
　　故答案是：，；
　　（3）当P在圆内部时，最长距离是，
　　当P在圆外时，最长距离是．
　　故答案是或．
　　【点拨】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键．
　　类型三、三角形换外接圆
　　3．如图，已知BD是四边形ABCD的一条对角线.请利用直尺和圆规在AB边上作一点P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹）
　　
　　【分析】作△BDC的外接圆,△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
　　解：（1）作△BDC的外接圆
　　（2）如图，△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
　　
　　【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
　　【变式1】正方形纸片ABCD的对称中心为O，翻折∠A使顶点A重合于对角线AC上一点P，EF是折痕：
　　（1）证明：AE＝AF；
　　（2）尺规作图：在图中作出当点P是OC中点时的△EFP（不写画法，保留作图痕迹）；完成作图后，标注所作△EFP的外接圆心M.
　　
　　【解析】设AP交EF于点Q，根据P是A的对称点得出AP⊥EF，从而得出△AEQ和△AFQ全等，从而得到AE=AF；根据外接圆的圆心画法得出答案.
　　试题解析：证明：设AP交EF于点Q，∵P是A的对称点， ∴AP⊥EF，
　　在△AEQ和△AFQ中：∵点P在AC上，∴∠EAQ＝∠FAQ＝45°AQ公共边，∠AQE＝∠AQF＝90°
　　∴△AEQ≌△AFQ（ASA）∴AE＝AF
　　（2）尺规作图：OC中点P
　　
　　作AP垂直平分线EF、 或PE、PF用角平分线、或过P作垂直线等方法获得△EFP -
　　△EFP的外接圆心M的位置是EF与AC的交点
　　考点：三角形全等、三角形外接圆的画法.
　　【变式2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
　　
　　（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
　　（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．
　　【答案】(1)见解析;(2) 锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆
　　【分析】第一个三角形是锐角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是三角形ABC的外接圆；
第二个三角形是钝角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是以BC为直径的圆．
　　解：（1）如图；
　　
　　（2）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆；
　　【点拨】本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
　　【变式3】锐角外接圆的圆心为O，线段的中点分别为M、N，，．设．
　　（1）请直接用表示；
　　（2）判断的形状，并给出证明；
　　（3）求的大小．
　　
　　【答案】（1）∠BAC=180°-10θ，∠MON=180°-2θ；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）12°
　　【分析】（1）根据已知条件得到结论；
　　（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
　　（3）根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出∠NOC和∠AOC，进一步计算出∠ONM，根据直角三角形的性质可以求得∠OBN=30°．再求得∠OMN的大小．
　　解：（1）连接OC，
　　∵∠OMN=θ，
　　∠ABC=4θ，∠ACB=6θ；
　　∴∠BAC=180°-10θ，
　　∴∠BOC=2∠BAC=2（180°-10θ），
　　∵N是BC的中点，
　　∴ON垂直于BC，
　　∴∠NOC=∠BON=∠BOC=∠BAC=180°-10θ，
　　∵∠ABC=4θ，
　　∴∠AOC=8θ，
　　∴∠NOC=180°-10θ，∠AOC=8θ，
　　∴∠AON=∠NOC+∠AOC=180°-10θ+8θ=180°-2θ，
　　∴∠MON=180°-2θ；
　　（2）∵∠OMN=θ，
　　由（1）知，∠MON=180°-2θ，
　　∴∠ONM=180°-∠MON-∠OMN=θ=∠OMN，
　　∴OM=ON，
　　∴△MON为等腰三角形；
　　（3）∵OA=OB，由 （2）知，
　　△OMN是等腰三角形，
　　∴ON=OM=OA=OB，
　　∵N是BC的中点，
　　∴ON⊥BC，
　　∴∠OBN=30°，
　　∴180°-10θ=60°，
　　∴θ=12°，
　　∴∠OMN=12°．
　　
　　【点拨】此题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
　　类型四、三角形外心位置（坐标）
　　4．　如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
　　
　　（1）画出将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
　　（2）画出△ABC的外接圆，并写出其圆心的坐标．
　　【答案】（1）A1（0，﹣4），B1（3，﹣3），C1（3，﹣1）；（2）（﹣2，﹣1）
　　【分析】（1）旋转以后易发现点A1，B1，C1的坐标；
　　（2）三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点.
　　解：（1）△A1B1C1如图所示．A1（0，﹣4），B1（3，﹣3），C1（3，﹣1）．
　　
　　（2）△ABC的外接圆如图所示，
　　圆心O′的坐标为（﹣2，﹣1）．
　　【点拨】此题考查的是旋转和外接圆的圆心确定方法.
　　【变式1】如图，在由每个边长为1的小正方形组成的9×9的网格中，点A，B，C都在格点上，点B绕点C逆时针旋转90°后的对应点为M，已知点B的坐标为(0，﹣2)（坐标轴与网格线平行）．
　　（1）直接写出：点C的坐标为　 　，点M的坐标为　 　；
　　（2）若平面内存在一点P，且P为△ACM的外心，直接写出点P的坐标是　 　；
　　（3）CN平分∠BCM交y轴于点N，则N点坐标为　 　．
　　
　　【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)
　　【分析】（1）先建立直角坐标系，作出图形，构造全等三角形，即可得出结论；
　　（2）先判断出PA＝PC，再判断出点P的纵坐标为0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出结论；
　　（3）利用角平分线的特点构造出等腰三角形求出MF，进而求出直线CF的解析式，即可得出结论．
　　解：（1）建立如图1所示的平面坐标系，
　　
　　由网格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），
　　∴AC⊥x轴，AC＝4，
　　∵B（0,-2），
　　∴AB＝3，
　　过点M作AC的垂线交AC于D，
　　∴∠CDM＝∠BAC＝90°，
　　∴∠DCM+CMD＝90°，
　　由旋转知，BC＝MC，∠BCM＝90°，
　　∴∠ACB+∠DCM＝90°，
　　∴∠ACB＝∠DMC，
　　∴△ABC≌△DCM（AAS），
　　∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，
　　∴AD＝AC+CD＝7．
　　∴M（1，5），
　　故答案为（﹣3，2），（1，5）；
　　（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
　　设点P的坐标为（m，n）
　　∵点P是△ACM的外接圆的圆心，
　　∴点P到点A，C，M的距离相等，
　　由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
　　∴n＝0，
　　∴P（m，0），
　　而PA＝ ，
　　
　　∴m＝ ，
　　∴P（，0），
　　故答案为（，0）；
　　（3）如图3，
　　过点M作MF∥AC交CN于F，
　　
　　∴∠CFM＝∠ACN，
　　∵CN是∠ACM的角平分线
　　∴∠ACN＝∠MCN，
　　∴∠MCN＝∠CFN，
　　∴MF＝CM，
　　而CM＝
　　∴MF＝5，
　　∴F（1,0），
　　∵C（﹣3,2），
　　设直线CF的解析式为 ，
　　将F,C代入得
　　 解得
　　∴直线CF的解析式为
　　令x＝0，则y＝ ，
　　∴N（）．
　　故答案为（）．
　　【点拨】本题主要考查旋转的性质，三角形外心及待定系数法，掌握旋转的性质及三角形外心的性质是解题的关键.
　　【变式2】如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
　　（1）请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：圆心的坐标：（______，______）
　　（2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出图形．
　　
　　【答案】（1）点P的位置如图所示，点P坐标为（5，3）；（2）△ADE如图所示，见解析
　　【分析】（1）分别作出BC、AB的中垂线，两直线的交点即为点P；
（2）分别找出点B、C绕点A逆时针旋转后的点的位置，然后顺次连接即可.
　　解：（1）如图所示，点P即为所求，圆心P的坐标为P（5，3）；
　　
　　（2）如图所示，△ADE为所画三角形.
　　【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
　　【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）．
　　（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，其中A、C分别和A1、C1对应．
　　（2）平移△ABC，使得A点落在x轴上，B点落在y轴上，画出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2B2C2对应．
　　（3）填空：在（2）的条件下，设△ABC，△A2B2C2的外接圆的圆心分别为M、M2，则MM2=　 　．
　　
　　【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）
　　【分析】（1）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转的对应点、的位置，再与点顺次连接即可；
　　（2）根据网格结构找出点、、平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
　　（3）根据平移的性质，对应点的连续互相平行且相等可得，再利用勾股定理列式计算即可得解.
　　解：（1）△A1BC1如图所示；
　　（2）△A2B2C2如图所示；
　　（3）∵M、M2分别为△ABC，△A2B2C2的外接圆的圆心，
　　∴MM2=AA2，
　　由勾股定理得，AA2=，
　　所以，MM2=．
　　故答案为．
　　
　　【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
　　类型五、特殊三角形外接圆半径
　　5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r.
　　
　　【答案】
　　【分析】连接AO交BC于D,连接OB、OC.已知AB=AC,由同圆或等圆中,等弦对等弧可得圆弧AB=圆弧AC,由此可得∠BOA=∠AOC；
　　在△BOC中,OB=OC,∠BOD=∠COD,根据三线合一可得OA⊥BC,BD=DC,根据直角三角形勾股定理,即可求得AD；
　　设CO=R,则DO=AO−AD=R−,在Rt△CDO中,由勾股定理就可以得出关于R的方程,求出R的值即可解答本题.
　　解：
　　
　　连接AO交BC于D,连接OB、OC
　　∵ AB=AC
　　∴弧 AB=弧AC (同圆或等圆中,等弦对等弧)
　　∴ ∠BOA=∠AOC (同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等)
　　∵ OB=OC ∠BOA=∠AOC
　　∴ OA⊥BC (三线合一)
　　BD=DC=×BC=×10=5 (三线合一)
　　∴ AD= == (直角三角形勾股定理求值)
　　设CO=R 则DO=AO−AD=R−
　　∵ △CDO是直角三角形
　　∴ += (直角三角形勾股定理)
　　∵ DO=R−  CO=R DC=5
　　∴+=
　　解得R=
　　所以△ABC的外接圆的半径R为
　　【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的基本性质.
　　【变式1】如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
　　
　　【答案】
　　【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．
　　解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．
　　
　　【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
　　【变式2】如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径．
　　
　　【答案】16.9
　　【解析】
　　试题分析：连接OA,交BC于D， ⊙O是的外接圆，所以OABC,且OA平分BC,则BD=12，所以可求得AD=5，所以在直角三角形BOD中根据勾股定理可得：BO2=BD2+OD2，OD=BO-5，所以可求得BO=16.
　　连接OA交BC于D点，连接BO
　　因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC，
　　则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12，
　　在直角三角形ABC中根据勾股定理AD＝5，
　　在直角三角形OBD中，设半径OB＝x，
　　则有：，解方程得：x＝16.9，
　　答：⊙O的半径为16.9.
　　【变式3】已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
　　（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
　　（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
　　
　　【答案】(1)见解析;(2)1.
　　【分析】（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
　　（2）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可．
　　解：解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
　　
　　（2）连接OB，OC．
　　∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°，
　　∴∠BOC＝120°，
　　∵OD⊥BC，
　　∴BD＝CD＝，∠BOD＝∠BOC＝60°，
　　∴OD＝.
　　【点拨】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　　类型六、由三角形外心的位置判断形状
　　6．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
　　（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．

　　【答案】（1）证明见解析（2）4
　　解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
　　又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
　　∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
　　∴△ABC是等边三角形．
　　（2）连接OB，
　　
　　∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
　　∴O为△ABC的外心．
　　∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
　　（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，从而得证．
　　（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
　　【变式1】对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形.
　　
　　(1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形;
　　(2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形;
　　(3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数.
　　【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72°
　　【分析】（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；
（3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数．
　　（1）解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，
　　∴∠C＝60°
　　∵402+602≠802，
　　∴△ABC不是美好三角形；
　　故答案为：不是；
　　（2）证明：连接OA、OC，
　　∵AC＝2，OA＝OC＝，
　　∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，
　　∴∠B＝45°，
　　∵∠C＝60°，
　　∴∠A＝75°，
　　∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752，
　　∴△ABC是美好三角形；
　　（3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°，
　　若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302，
　　解得x＝78，
　　若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302，
　　解得x＝72，
　　综上可知，∠C＝78°或72°
　　【点拨】本题考查圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形.
　　【变式2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止．
　　（1）求证：△ABE≌△ACD；
　　（2）若AB＝BE，求∠DAE的度数；
　　拓展：若△ABD的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．
　　
　　【答案】（1）证明见解析；（2）；拓展：
　　【解析】
　　【分析】（1）由题意得BD=CE，得出BE=CD，证出AB=AC，由SAS证明△ABE≌△ACD即可；
　　（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，证出AC=CD，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度数；
　　拓展：对△ABD的外心位置进行推理，即可得出结论．
（1）证明：∵点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，
　　∴BD=CE，
　　∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD，
　　∵∠B=∠C=40°，
　　∴AB=AC，
　　在△ABE和△ACD中，
　　，
　　∴△ABE≌△ACD（SAS）；
　　（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，
　　∴∠BEA=∠EAB=(180°-40°)=70°，
　　∵BE=CD，AB=AC，
　　∴AC=CD，
　　∴∠ADC=∠DAC=(180°-40°)=70°，
　　∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°；
　　拓展：
　　解：若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形．
　　∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．
　　∴∠BDA＞50°，
　　又∵∠BDA＜90°，
　　∴50°＜∠BDA＜90°．
　　【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外心等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
　　【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝44°，点D点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止．
　　（1）求证：△ABE≌△ACD；
　　（2）若AB＝BE，求∠DAE的度数；
　　（3）若△ACE的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．
　　
　　【答案】（1）见解析；（2）44°；（3）46°＜∠BDA＜90°
　　【分析】（1）由“点D点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，”可知BD=CE，可得：BE=CD，结论易证；
　　（2）利用等腰三角形的判定和性质即可；
　　（3）根据三角形外心的位置与三角形形状的关系可得：△ACE是锐角三角形，再结合三角形内角和定理即可得到结论．
（1）证明：∵点D点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，
　　∴BD=CE
　　∴BD+DE=DE+CE，即BE=CD
　　∵∠B=∠C=44°
　　∴AC=AB
　　∴△ABE≌△ACD（SAS）
　　（2）∵AB=BE
　　∴∠BAE=∠AEB
　　∵△ABE≌△ACD
　　∴AD=AE
　　∴∠ADE=∠AEB
　　∴∠BAE=∠ADE，即：∠BAD+∠DAE=∠BAD+∠B
　　∴∠DAE=∠B=44°
　　（3）∵△ACE的外心在其内部
　　∴△ACE是锐角三角形
　　∴∠BDA=∠AEC＜90°
　　∵∠B=44°
　　∴∠BAD=180°﹣44°﹣∠BDA＜90°
　　∴∠BDA＞46°
　　∴46°＜∠BDA＜90°
　　【点拨】此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外心的性质，熟练掌握，即可解题.
　　类型七、判断确定圆的条件
　7.　 如图所示，，，求.
　　
　　【答案】30°.
　　【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．
　　解：∵AB=AC=AD，
　　∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
　　∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
　　∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，
　　∴∠CAD=2∠BAC=120°．
　　∴∠BDC=30°.
　　【点拨】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．
　　【变式1】如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
　　
　　【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
　　证明:如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
　　∵BD，CE是△ABC的高，
　　∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
　　∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
　　∴DF=EF=BF=CF．
　　∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
　　
　　【点拨】此题考查确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
　　【变式2】如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
　　
　　（1）点P的运动路径是一个圆；
　　（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
　　【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤
　　【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；
　　（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．
　　（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：
　　
　　则HP是△ABO的中位线，
　　∴HP＝OB＝1，
　　∴P点到H点的距离固定为1，
　　∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
　　（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
　　
　　∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
　　∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，
　　∴PC＝PA＝AB，
　　当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
　　∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
　　∴AP'＝AM＝，
　　∴PC＝；
　　当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
　　∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
　　∴AP''＝AN＝，
　　∴PC＝；
　　∴PC长的取值范围是≤PC≤．
　　【点拨】本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
　　【变式3】（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．
　　（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．
　　（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
　　
　　【答案】（1）见解析；（2）DE+BF的最小值为2；（3）四边形ABCD的周长最大值为12+4．
　　【分析】（1）如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求的点；
　　（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，可得DE=FM，从而可得DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，利用勾股定理求得BM即可得；
　　（3）如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC，先证明AC=CD+CB，然后证明当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大即可得.
　　解：（1）如图①中，作点A关于直线的对称点A′，连接A′B交直线于P，连接PA，则点P即为所求的点．
　　
　　（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，
　　
　　∵DM=EF，DM∥EF，
　　∴四边形DEFM是平行四边形，
　　∴DE=FM，
　　∴DE+BF=FM+FB=BM，
　　根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
　　∵四边形ABCD是菱形，
　　∴AC⊥BD，AO=OC=3，
　　在Rt△ADO中，OD==3，
　　∴BD=6，
　　∵DM∥AC，
　　∴∠MDB=∠BOC=90°，
　　∴BM=．
　　∴DE+BF的最小值为2．
　　（3）如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．
　　
　　∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
　　∴∠DAB+∠DCB=180°，
　　∴A、B、C、D四点共圆，
　　∵AD=AB，∠DAB=60°，
　　∴△ADB是等边三角形，
　　∴∠ABD=∠ADB=60°，
　　∴∠ACD=∠ADB=60°，
　　∵DM=DC，
　　∴△DMC是等边三角形，
　　∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
　　∴∠ADM=∠BDC，
　　∵AD=BD，
　　∴△ADM≌△BDC，
　　∴AM=BC，
　　∴AC=AM+MC=BC+CD，
　　∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
　　∵AD=AB=6，
　　∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
　　∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4，
　　∴四边形ABCD的周长最大值为12+4．
　　【点拨】本题考查四边形综合题，涉及到轴对称、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆等知识，灵活运用所学知识、利用辅助圆解决最值问题是解题的关键.
　　类型八、尺规定作图-确定圆
　　8.要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点.
　　（1）找出模具的圆心；
　　（2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径.
　　
　　【答案】（1）如图所示见解析；（2）R=.
　　【分析】（1）作线段AB与线段AC的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA交BC于D，在Rt△BDO中，解直角三角形即可解决问题．
　　解：（1）如图所示，点O即为所求；
　　
　　（2）连结OB、，则于，
　　，
　　∴，则
　　设半径为，在Rt△BDO中，由勾股定理得
　　∴R= .
　　故答案为（1）如图所示见解析；（2）R=.
　　【点拨】本题综合考查垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
　　【变式1】已知△ABC,求作☉O,使☉O经过△ABC的三个顶点.(不写作法,保留作图痕迹)
　　
　　【分析】根据题意，作三角形ABC的外接圆，作任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．
　　解:如图所示.
　　
　　【点拨】本题考查了作三角形的外接圆，外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
　　【变式2】如图，在中，．
　　（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
　　（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．
　　

　　【答案】（1）见解析；（2）
　　【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
　　（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
　　解：（1）作图如下：
　　
　　（2）连接AD，OD，如图所示
　　
　　由（1）知：平分，且°
　　∴°
　　∴°
　　在中，，
　　∴，即
　　在中，
　　【点拨】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．
　　【变式3】已知：．．
　　求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
　　
　　【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
　　解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
　　再作线段BC的垂直平分线相交于O，
　　即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
　　如下图所示：
　　
　　【点拨】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．