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专题24.14 点和圆的位置关系（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题24.14 点和圆的位置关系（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共61页。试卷主要包含了判定点和圆的位置关系，由点和圆的位置关系求半径，三角形换外接圆，三角形外心位置，特殊三角形外接圆半径，由三角形外心的位置判断形状，判断确定圆的条件，尺规定作图-确定圆等内容，欢迎下载使用。
专题24.14 点和圆的位置关系（专项练习）
一、 单选题
知识点一、判定点和圆的位置关系
1．已知点P到上的点的最大距离是，最小距离是，则的半径是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O内 B．点在⊙O上 C．点在⊙O外 D．无法确定
3．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（ ）
A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断
4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
5．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在外，内，上，则原点O的位置应该在
A．点A与点B之间靠近A点 B．点A与点B之间靠近B点
C．点B与点C之间靠近B点 D．点B与点C之间靠近C点
6．已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1 B． C．2 D.
知识点三、三角形换外接圆
9．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
11．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
知识点四、三角形外心位置（坐标）
12．下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
14．过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、特殊三角形外接圆半径
16．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
17．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
18．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．3.5cm D．5cm
19．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
20．如图，用边长分别为1和3的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
21．如图，O是的外心，则
A． B． C． D．
22．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
23．如图，已知是的外接圆，的半径为5，，则为
A． B． C． D．
24．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S△BDC=34AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=l
知识点七、判断确定圆的条件
25．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
26．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
27．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（ ）
A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1)
28．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．3+
知识点八、尺规定作图-确定圆
29．如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( )
A．∠ADB=∠ABC B．AB=BD C．AC=AD+BD D．∠ABD=∠BCD
30．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（ ）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
32．已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
（1）连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
（2）连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
（3）以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接AC, 则点O是△ABC的内心 B．
C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙的半径 D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
二、 填空题
知识点一、判定点和圆的位置关系
33．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在______（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）．
34．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实根，则点P与⊙O的位置关系是____．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、(m＞0)，点P在以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是_________________．
36．如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）．
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
37．在矩形中，，，以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，则⊙A半径的取值范围是________．
38．如图，摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是米．若游客从处乘摩天轮绕一周需分钟，则游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时最少需________分钟．
39．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
40． 已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为________．
知识点三、三角形换外接圆
41．如图，是的________圆，是的________三角形．
42．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ________，这个圆的圆心是三角形三条边的 ________的交点，叫做三角形的 ______，它到三角形 _______的距离相等；
43．如图，ABC与DEF均为等边三角形，⊙O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=_____cm．
44．如图，在中，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是_______．
知识点四、三角形外心位置（坐标）
45．如图所示，外接圆的圆心坐标是________.
46．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为_____．
47．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ________，半径是 ________．
48．如图，在直角坐标系中，点、点、，则外接圆的半径为______．
知识点五、特殊三角形外接圆半径
49．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是________．
50．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
51．已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
52．直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个三角形的外接圆的半径等于________，内切圆的半径等于________．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
53．如图，在△ABC中，点I是外心，∠ABC=70°，∠ACB=45°，则∠BIC=____________．
54．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是_______．
55．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为__________．
56． 已知点，原点O关于一次函数的对称点恰好与的外心重合，则点的坐标为___________，b的值为___________．
知识点七、判断确定圆的条件
57．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
58．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
59．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 ________．
60．如图，中，，，点D是边BC上任意一点，连结AD，过点C作 于点E，过点C作，且，连结FE并延长交AB于点M，连结BF．若四边形AMEC的面积是8，，则四边形ABFC的面积是________．
知识点八、尺规定作图-确定圆
61．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是_______．
62．如图：已知锐角∠AOC，依次按照以下顺序操作画图：
（1）在射线OA上取一点B，以点O为圆心，OB长为半径作，交射线OC于点D，连接BD；
（2）分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接ON，MN．
根据以上作图过程及所作图形可知下列结论：①OC平分∠AON；②MN∥BD；③MN＝3BD；④若∠AOC＝30°，则MN＝ON．其中正确结论的序号是_____．
63．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1△ABC，尺规作图：求作∠APC＝∠ABC.
甲、乙两位同学的主要作法如下：
甲同学的主要作法，如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP.所以∠APC＝∠ABC.
乙同学的主要作法，如图乙：①作线段BC的垂直平分线a；②作线段AB的垂直平分线b，与直线a交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④在上取一点P（点P不与点A，B，C重合），连结AP，CP.所以∠ACP＝∠ABC.
老师说：“两位同学的作法都是正确的.”
请你选择一位同学的作法，并说明这位同学作图的依据.
我选择的是_________的作法，这样作图的依据是_________.
64．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点的圆的圆心在边上．
（1）线段的长等于___________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________
三、 解答题
知识点一、判定点和圆的位置关系
65．如图，在直角坐标系中，（0，4）、（4，4）、（6，2），
（1）写出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标：______；
（2）判断点与圆的位置关系．
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
66．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
知识点三、三角形换外接圆
67．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出的重心；
（2）在图2中，画出的外心．
知识点四、三角形外心位置（坐标）
68．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
（2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应；
（3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M与M2之间的距离为
知识点五、特殊三角形外接圆半径
69．如图，内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
70．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
知识点七、判断确定圆的条件
71．如图，点是内一点，点是外的一点，，，共线，且，，图中有与相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．
知识点八、尺规定作图-确定圆
72．陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
参考答案
1．C
①当点P在圆外时，圆的直径为，∴半径为；②当点P在圆内时，圆的直径为，∴半径为．∴的半径是或．
2．A
【分析】
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
解：由题意可作图，如下图所示：
∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r法则是解题的关键．
3．A
【分析】
首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
4．C
【分析】
由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6；
故选：C．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
5．C
【解析】
【分析】
分析A，B，C离原点的远近，画出图象，利用图象法即可解决问题；
由题意知,点A离原点最远，点C次之，点B离原点最近，如图，观察图象可知，
原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，
故选：C．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
6．D
【解析】
试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5．
故选D
考点：点与圆的位置关系
7．B
【分析】
判断P点的运动轨迹，将CP的最小值转化为C点到圆心的距离减去半径.
∵△OAB是直角三角形，
点P在以AB为直径的圆上运动，
∵A（2，0），B（0，），
∴AB＝4，AB的中点为（1，），
∵C（﹣2，0），
∴CP的最小值为﹣2；
故选B．
【点拨】本题考查动点的轨迹，线段的最值；能够根据运动情况判断点的运动轨迹是圆是解题的关键．
8．B
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
9．B
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
10．C
【分析】
根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识一一判断即可．
解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，(故A正确)
∵BA=BC=BD，
∴△ACD是直角三角形，（故B正确），点B是△ACD的外心．（故D正确）；
∴tanA==，
∴AC=，
∴BC=，（故C错误）
故选C．
【点拨】本题考查作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【分析】
根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
如图，连接OA、OB、OD.
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选:B.
【点拨】考查三角形外心的概念，三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.
12．C
【分析】
根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．
①是圆周角定理的推论，故①正确；
②根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故②正确；
③根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故③正确；
④应是不共线的三个点，故④错误，
故选C．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的对称性，确定圆的条件等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13．C
【分析】
根据三角形外心的定义即可判断.
解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的相关知识，正确区分三角形的外心、内心、垂心、重心是解题的关键.外心：三角形中三边垂直平分线的交点；内心：三角形三条内角平分线的交点;垂心: 三角形三条边上高线的交点;重心: 三角形三条边上中线的交点.
14．A
【分析】
根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理
15．C
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
16．B
【解析】
【分析】
△ABC的外接圆的圆心是其三边垂直平分线的交点，要求它的坐标，先要在图形中找到这一点；在具体作△ABC的外心时，由于BC的垂直平分线就是一条网格线，AB的垂直平分线是以线段AB为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线，故只需作边AB和BC的垂直平分线即可，其交点就是△ABC的外心；确定外心的位置后，即可过外心分别向x轴、y轴作垂线，其垂足所对应的实数即为外心的坐标.
∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在边BC的垂直平分线上，又在边AB的垂直平分线上，
∴三角形的外接圆圆心的坐标为（5，2）.
故答案选B.
【点拨】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质.
17．C
【分析】
先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可．
如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
【点拨】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
18．B
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出AB=5cm，再利用直角三角形的外心为斜边的中点得到外接圆的半径为2.5cm，于是得到它的外心与直角顶点的距离．
解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5cm，
∴Rt△ABC为外接圆的直径为5cm，
即△ABC的外心为AB的中点，
∴它的外心与直角顶点的距离是cm．
故选B．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．掌握直角三角形的外心为斜边的中点是解题的关键．
19．C
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x==3.125．
故选C．
【点拨】本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
20．B
【解析】
【分析】
如图，根据已知得出当AB为圆的直径时圆形纸片的面积最小，进而利用勾股定理求出即可.
根据题意可知当AB为圆的直径时圆形纸片的面积最小，根据勾股定理，AB＝，∴能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为2.5.故选B.
【点拨】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理，得出圆形纸片半径最小时图形是解题关键.
21．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
22．C
【解析】
试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
23．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
解：是的外接圆，的半径为5，，
是等边三角形，
，
，
故选D．
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
24．D
【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【详解】由作图可知：AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，BD=3AB，
∴S△ABD=32AB2，
∵AC=CD，∴S△BDC=34AB2，
故A、B、C正确，
sin2A+cos2D=BD2AD2+BD2AD2≠1，故D错误，
故选D．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．B
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
26．B
【分析】
根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.
由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
【点拨】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
27．C
【解析】
试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.
故选C.
28．C
【分析】
由定边对等角，判断、、三点共圆，由中位线的性质当取最大值时，即取最大值时，根据圆内最长弦为直径即可求解．
解：由题知、、三点共圆，
M，N分别为AB，BC的中点，
，
当过圆心即是直径时（如图所示），取得最大值，此时取的最大值，
，
此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判定；能判断点的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
29．B
【解析】
【分析】
根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD=∠DBC=∠ABC，然后根据条件∠ABC=2∠C可证明∠ABD=∠DBC=∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB=CD，进而可得AC=AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确．
由题意可得BD平分∠ABC，
A. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴∠ADB=2∠C，
∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意；
B. ∵∠A≠∠ADB，
∴AB≠BD，故此选项符合题意；
C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，
∴DC=BD，
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+BD，故此选项不合题意；
D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意；
故选B.
【点拨】此题考查作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则.
30．D
【解析】
A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选D．
点睛：本题主要考查尺规作图，能正确地确定作图的步骤是解决此类问题的关键.
31．C
【分析】
以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．
解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，
过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∠A＝60°，AE＝6，
∴AF＝3，EF＝，
在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5，
∴OE＝，
∴PE＝﹣4，
即线段PE的最小值为﹣4，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．
32．D
【分析】
根据三角形的外心性质即可解题.
A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A错误；
B: 根据题意无法证明，故 B错误；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙的半径，故 C错误
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D正确
故答案为：D.
【点拨】本题考查了三角形的确定即不在一条线上的三个点确定一个圆，这个圆是三角形的外接圆，o是三角形的外心.
33．圆内
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP==5，
∵半径为6，
而6＞5，
∴点P在⊙O内．
故答案为：圆内．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
34．点在⊙O外
【分析】
首先利用根的判别式求出d的取值范围，然后与半径1进行比较即可得出答案．
∵关于x的方程没有实根，
，
解得，
∴点与⊙O的位置关系是点在⊙O外，
故答案为：点在⊙O外．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握一元二次方程无实数根的条件是关键．
35．
【分析】
根据题意，先计算AB、AC的长，结合直角三角形斜边中线的性质，得到，再利用勾股定理解得AD的长，根据点与圆的位置关系得到AP最长与AP最短的值，继而解得m的值．
连接AP，作射线AD，
由题意得，AB=，AC=
，D(4，5)
当点P在线段AD的延长线上时，AP最长，即AP=5+1=6；
当点P在线段AD上时，AP最短，即AP=5-1=4，
的取值范围是：，
故答案为：．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，涉及直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．4
【分析】
通过作图展示满足条件的格点，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行验证．
解：如图，
⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．
【点拨】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系．
37．
【分析】
连接AC，根据矩形的性质及勾股定理先求出AC的长，然后根据点与圆的位置关系及题意直接列式求解即可．
解：连接AC，如图，
四边形是矩形，
∠D=90°，AD=BC，
，，
，
由以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，可得：
⊙A半径的取值范围是，
故答案为．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
38．4
【解析】
【分析】
先根据摩天轮圆P的最高处A到地面的距离是82米,最低处B到地面的距离是2米得出AB的长，进而求出圆P的半径，再根据游客从B处乘摩天轮到地面的距离是62米求出BM、MP的长，根据直角三角形的性质得出∠MPE的度数，进而可得出结论.
解：∵摩天轮圆P的最高处A到地面l的距离是82米，最低处B到地面l的距离是2米得出AB的长，
∴AB = 80m,
∴AP= PB = 40m,
设当到点E或点F时游客从B处乘摩天轮到地面1的距离是62米，连接EP,FP，如下图所示，则EF⊥AB,
∵B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时BM= 62 -2 = 60m,
∴MP= 60- 40 = 20m,
∵MP=EP,
∴∠MEP=30°，∠EPM=60°
∴∠EPB=180°-60°=120°
∵游客从B处乘摩天轮绕一周需12分钟,
∴游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时最少需要12 = 4 (分钟).
故答案为:4.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，构造出直角三角形是解答此题的关键.
39．.
试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
40．2或3
【解析】
试题解析：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径=5-1=4，因而半径是2．
所以⊙O的半径为2或3．
41．外接 内接
【分析】
与三角形的各顶点都相交的圆叫做这个三角形的外接圆；这个三角形叫这个圆的内接三角形.据此解答本题即可.
是的外接圆，是的内接三角形．
故答案为外接，内接.
【点拨】本题主要考查的是三角形的外接圆与圆的内接三角形的概念：与三角形的各顶点都相交的圆叫做这个三角形的外接圆；这个三角形叫这个圆的内接三角形.
42．外接圆 垂直平分线 外心 三个顶点
【解析】
【分析】
根据三角形的外接圆定义和三角形外心的概念即可解答.
根据概念，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心是三角形三条边的垂直平方线的交点，叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等.
【点拨】本题考查了学生圆的外接圆、外心，掌握圆的外接圆和外心相关概念是解决此题的关键.
43．．
【解析】
试题分析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，得到OM⊥AB，由⊙O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON⊥DE于N，由⊙O是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．
试题解析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，
∴OM⊥AB，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆
∴∠ABO=30°，OA=OB，
∴BM=AB=，
∴OM=，
连接OD，过O作ON⊥DE于N，
∵⊙O是等边△DEF的外接圆．
∴OD=OM=，∠ODN=30°，
∴DN=，
∴DE=2DN=．
考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心．
44．
【分析】
由已知可得是钝角三角形，则点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，根据直角三角形的性质可求得BC的长，再根据圆的面积公式计算即可．
解：∵，点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
故所求圆形纸片的面积是．
故答案为：
【点拨】本题考查能覆盖三角形的最小圆，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 本题易将所求圆错认为是的外接圆，能使锐角三角形或直角三角形被完全覆盖的最小圆是它的外接圆，能使钝角三角形被完全覆盖的最小圆不是其外接圆，而是以其最长边为直径的圆．
45．
【分析】
作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可．
解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，
∵ P点坐标是P（5，2），
∴ 外接圆的圆心坐标是（5，2）．
故答案为（5，2）．
【点拨】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
46．（4，）
【解析】
【分析】
如图，根据题意，可知线段AB的垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心F的横坐标为4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2=22+(5-r-2)2，求出r后即可求得圆心的坐标.
如图，∵A（2，2），B（6，2），
∴线段AB的垂直平分线为x=4，
∵C（4，5），
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴过A、B、C三点的圆的圆心F在线段AB的垂直平分线上，
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2=22+(5-r-2)2，
解得：r=，
∴FE=CE-CF=5-=，
∴过A、B、C三点的圆的圆心F的坐标为（4，），
故答案为（4，）．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理等，理解圆心的作法是解决本题的关键．
47．（5，2）
【分析】
找出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心，再利用勾股定理即可求出半径．
∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵BC与AB的垂直平分线交于点(5,2)，
∴点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，
∴(5,2)点是三角形的外接圆圆心.
∴△ABC外接圆的半径为，
.
故答案为（5，2）；.
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心.利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC外接圆的圆心是解题的关键.
48．
【分析】
连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，根据垂径定理、坐标与图形性质求出点H的坐标，根据勾股定理计算即可．
解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，
由垂径定理得，点H为的外接圆的圆心，
、点、，
点H的坐标为，
则外接圆的半径，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、坐标与图形性质，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
49．
【解析】
分析：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；
详解：如图，连接AC、BD交于点O′．
当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x=，
∴OE=4-=，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E=AB=2，
∴OO′=O′E-OE=，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′=．
故答案为:．
点睛：本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹．
50．
分析：根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．
详解：∵a+b2+|c-6|+28=4+10b，
∴（a-1-4+4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（-2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴−2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r=，
故答案为．
点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
51．5
【分析】
根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
∵三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，
∴此三角形是以10为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为5．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
52．
【解析】
【分析】
直角三角形的外接圆半径是斜边的一半；直角三角形内接圆半径是两直角边的和与斜边的差的一半.
直角三角形的两条直角边长分别为和，则斜边为10cm，而直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，所以，外接圆半径为5cm；直角三角形内接圆半径是两直角边的和与斜边的差的一半，即内接圆半径=（6+8–10）=2cm.
【点拨】掌握直角三角形内接圆和外接圆半径的求法是解题的关键.
53．130°
【分析】
由已知条件点I是△ABC的外心，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结果．
∵∠ABC=70°，∠ACB=45°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°，
∵点I是外心，
∴∠BIC=2∠A=130°，
故答案为：130°．
【点拨】此题考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理；由圆周角定理得出结果是解题的关键．
54．直角三角形
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点．
55．或
【解析】
【分析】
由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可．
解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），
故答案为或．
【点拨】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点．
56．
【分析】
因为为直角三角形，直角三角形的外心在斜边中点处．的外心在斜边的中点上，可得，设交于点P，根据对称的性质直线垂直平分，得，由两直线互相垂直知在直线上，代入可得b的值．
解：为直角三角形，
的外心在斜边的中点上（直角三角形的外心在斜边中点处），
，
，
，
连接，如图，
设交于点P，
∵点是由O关于对称而来，
∴直线垂直平分（对称的性质），
为中点，
，
，
∵直线与垂直，
，
，
∵直线过，
，
，
故答案为．
【点拨】本题考察三角形外心的定义、一次函数值的几何意义、中点坐标公式和待定系数法求解析式．解题的关键在于通过相关知识找到直线上的点的坐标，再利用待定系数法求解．
57．线段的垂直平分线的性质
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
58．能
【解析】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
59．3
【解析】
∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为BD=3．
故答案为3．
【点睛】解题的关键是：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线．
60．18
【分析】
连接BE、CM，证明△ACE≌△BCF（SAS），推出∠MFB=，利用∠CFM=∠CBM=，得到C、M、B、F四点共圆，推出∠BCM=∠MFB=，从而求出AM=BM，得到；由CE∥BF推出，根据四边形ABFC的面积=求出结果．
解：连接BE、CM，
∵，，
∴，
∵，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CFB=∠CEA=，
∵∠CFE=，
∴∠MFB=，
∵∠CFM=∠CBM=，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=，
∴∠CMB=，
∵AC=BC，
∴AM=BM，
∴；
∵∠ECF=∠CFB=，
∴∠ECF+∠CFB=，
∴CE∥BF，
∴，
∵四边形AMEC的面积=
∴四边形ABFC的面积==，
故答案为：18．
．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定及性质，四点共圆的判定及性质，同底等高三角形面积的证明，这是一道较难的三角形综合题，熟练掌握各部分知识并综合运用是解题的关键．
61．该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【解析】
【分析】
由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆．
如图，连接OA、OC，
由作图知BA=BO、OC=OA，
∵AB=AC，
∴AB=OB=OC=AC，
∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB=OA=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【点拨】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义．
62．①②④
【分析】
①正确．根据可以推出结论．
②正确．连接DM，证明∠BDM＝∠DMN即可．
③错误．首先证明BD＝BM＝DN，再根据BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判断．
④正确．证明△MON是等腰直角三角形即可判断．
解：由作图可知：，
∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正确．
连接DM，
∵，
∴∠BDM＝∠DMN，
∴BD∥MN，故②正确，
∵，
∴BM＝BD＝DN，
∵BM+BD+DN＞MN，
∴MN＜3BD，故③错误，
若∠AOC＝30°，则∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴MN＝ON，故④正确．
故答案为①②④．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧，圆心角，弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
63．甲 内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等
【分析】
甲：由内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等可得；
乙：由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等可得.
解：甲、∵∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AP＝CB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠B＝∠APC，
故甲作法的依据为：内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等.
乙、∵a为AB的中垂线、b为BC的中垂线，且交点为O，
∴OA＝OB＝OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OA为半径的圆上，
∴∠APC＝∠ABC，
故乙作法的依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等.
故答案为：甲、内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等.
【点拨】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定及中垂线的性质、圆周角定理是解题的关键.
64． 取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足
【分析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
（1）AB＝=，
故答案为：；
（2）如图，取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足，
故答案为：取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足．
【点拨】本题考查了作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
65．（1）（2，0）；（2）在圆内．
【分析】
（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；
（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
（1）如图1，点M就是要找的圆心；
圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径AM==．
线段MD==＜，所以点D在⊙M内．
【点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
66．（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】
（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点拨】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
67．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用矩形对角线相等且平分的性质分别作出AB、AC的中点D、E， BE、CD的交点G即为的重心；
（2）利用菱形或正方形对角线互相垂直平分的性质作出AB、AC的中点P、Q， BQ、CP的交点O即为的外心
（1）如图1所示：点G即为所求：
（2）如图2所示：点O即为所求．
【点拨】本题考查作图-应用与设计，矩形、菱形、正方形性质，以及三角形重心、外心的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
68．（1）见解析
（2）见解析
（3）
【解析】
（1）如图：
（2）如图：
（3）从图可知：外心也是向下移动了4个单位，向左移动了1个单位．
故根据勾股定理得：
故答案为
69．（1）5；（2）12
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；
（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．
解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
70．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌；
由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解；
由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解．
证明：，且，
，
，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边AC的中点，
的外心在直线DE上，
点D是AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
71．有，，理由见解析.
【分析】
此题根据已知条件即可判断四点A、B、C、E共圆，再根据圆周角定理的推论“同弧所对的圆周角相等”即可求解．
有，．理由如下：
∵，
∴四点、、、共圆（在一条边的同一侧，该边所对的两个角相等，则四点共圆）．
∴．
【点拨】本题考查了圆周角定理与确定圆的条件，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与确定圆的条件.
72．小淇同学作法正确．理由见解析
解：小淇同学作法正确．连接OB．由作法可得OA=OC=OB．再由三角形内角和可得∠ABC=90°，从而得AB⊥l．
试题解析：小淇同学作法正确．
理由如下：连接OB．
∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，∴OA=OC=OB．
∴∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO，又∵∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°，
∴∠ABO+∠CBO=90°．∴∠ABC=90°，即AB⊥l．
专题24.14 点和圆的位置关系（专项练习）
一、 单选题
知识点一、判定点和圆的位置关系
1．已知点P到上的点的最大距离是，最小距离是，则的半径是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O内 B．点在⊙O上 C．点在⊙O外 D．无法确定
3．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（ ）
A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断
4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
5．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在外，内，上，则原点O的位置应该在
A．点A与点B之间靠近A点 B．点A与点B之间靠近B点
C．点B与点C之间靠近B点 D．点B与点C之间靠近C点
6．已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1 B． C．2 D.
知识点三、三角形换外接圆
9．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
11．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
知识点四、三角形外心位置（坐标）
12．下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
14．过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、特殊三角形外接圆半径
16．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
17．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
18．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．3.5cm D．5cm
19．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
20．如图，用边长分别为1和3的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
21．如图，O是的外心，则
A． B． C． D．
22．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
23．如图，已知是的外接圆，的半径为5，，则为
A． B． C． D．
24．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S△BDC=34AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=l
知识点七、判断确定圆的条件
25．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
26．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
27．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（ ）
A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1)
28．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．3+
知识点八、尺规定作图-确定圆
29．如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( )
A．∠ADB=∠ABC B．AB=BD C．AC=AD+BD D．∠ABD=∠BCD
30．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（ ）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
32．已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
（1）连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
（2）连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
（3）以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接AC, 则点O是△ABC的内心 B．
C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙的半径 D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
二、 填空题
知识点一、判定点和圆的位置关系
33．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在______（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）．
34．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实根，则点P与⊙O的位置关系是____．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、(m＞0)，点P在以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是_________________．
36．如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）．
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
37．在矩形中，，，以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，则⊙A半径的取值范围是________．
38．如图，摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是米．若游客从处乘摩天轮绕一周需分钟，则游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时最少需________分钟．
39．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
40． 已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为________．
知识点三、三角形换外接圆
41．如图，是的________圆，是的________三角形．
42．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ________，这个圆的圆心是三角形三条边的 ________的交点，叫做三角形的 ______，它到三角形 _______的距离相等；
43．如图，ABC与DEF均为等边三角形，⊙O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=_____cm．
44．如图，在中，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是_______．
知识点四、三角形外心位置（坐标）
45．如图所示，外接圆的圆心坐标是________.
46．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为_____．
47．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ________，半径是 ________．
48．如图，在直角坐标系中，点、点、，则外接圆的半径为______．
知识点五、特殊三角形外接圆半径
49．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是________．
50．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
51．已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
52．直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个三角形的外接圆的半径等于________，内切圆的半径等于________．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
53．如图，在△ABC中，点I是外心，∠ABC=70°，∠ACB=45°，则∠BIC=____________．
54．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是_______．
55．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为__________．
56． 已知点，原点O关于一次函数的对称点恰好与的外心重合，则点的坐标为___________，b的值为___________．
知识点七、判断确定圆的条件
57．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
58．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
59．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 ________．
60．如图，中，，，点D是边BC上任意一点，连结AD，过点C作 于点E，过点C作，且，连结FE并延长交AB于点M，连结BF．若四边形AMEC的面积是8，，则四边形ABFC的面积是________．
知识点八、尺规定作图-确定圆
61．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是_______．
62．如图：已知锐角∠AOC，依次按照以下顺序操作画图：
（1）在射线OA上取一点B，以点O为圆心，OB长为半径作，交射线OC于点D，连接BD；
（2）分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接ON，MN．
根据以上作图过程及所作图形可知下列结论：①OC平分∠AON；②MN∥BD；③MN＝3BD；④若∠AOC＝30°，则MN＝ON．其中正确结论的序号是_____．
63．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1△ABC，尺规作图：求作∠APC＝∠ABC.
甲、乙两位同学的主要作法如下：
甲同学的主要作法，如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP.所以∠APC＝∠ABC.
乙同学的主要作法，如图乙：①作线段BC的垂直平分线a；②作线段AB的垂直平分线b，与直线a交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④在上取一点P（点P不与点A，B，C重合），连结AP，CP.所以∠ACP＝∠ABC.
老师说：“两位同学的作法都是正确的.”
请你选择一位同学的作法，并说明这位同学作图的依据.
我选择的是_________的作法，这样作图的依据是_________.
64．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点的圆的圆心在边上．
（1）线段的长等于___________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________
三、 解答题
知识点一、判定点和圆的位置关系
65．如图，在直角坐标系中，（0，4）、（4，4）、（6，2），
（1）写出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标：______；
（2）判断点与圆的位置关系．
知识点二、由点和圆的位置关系求半径
66．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
知识点三、三角形换外接圆
67．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出的重心；
（2）在图2中，画出的外心．
知识点四、三角形外心位置（坐标）
68．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
（2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应；
（3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M与M2之间的距离为
知识点五、特殊三角形外接圆半径
69．如图，内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
知识点六、由三角形外心的位置判断形状
70．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
知识点七、判断确定圆的条件
71．如图，点是内一点，点是外的一点，，，共线，且，，图中有与相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．
知识点八、尺规定作图-确定圆
72．陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
参考答案
1．C
①当点P在圆外时，圆的直径为，∴半径为；②当点P在圆内时，圆的直径为，∴半径为．∴的半径是或．
2．A
【分析】
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
解：由题意可作图，如下图所示：
∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r法则是解题的关键．
3．A
【分析】
首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
4．C
【分析】
由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6；
故选：C．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
5．C
【解析】
【分析】
分析A，B，C离原点的远近，画出图象，利用图象法即可解决问题；
由题意知,点A离原点最远，点C次之，点B离原点最近，如图，观察图象可知，
原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，
故选：C．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
6．D
【解析】
试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5．
故选D
考点：点与圆的位置关系
7．B
【分析】
判断P点的运动轨迹，将CP的最小值转化为C点到圆心的距离减去半径.
∵△OAB是直角三角形，
点P在以AB为直径的圆上运动，
∵A（2，0），B（0，），
∴AB＝4，AB的中点为（1，），
∵C（﹣2，0），
∴CP的最小值为﹣2；
故选B．
【点拨】本题考查动点的轨迹，线段的最值；能够根据运动情况判断点的运动轨迹是圆是解题的关键．
8．B
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
9．B
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
10．C
【分析】
根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识一一判断即可．
解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，(故A正确)
∵BA=BC=BD，
∴△ACD是直角三角形，（故B正确），点B是△ACD的外心．（故D正确）；
∴tanA==，
∴AC=，
∴BC=，（故C错误）
故选C．
【点拨】本题考查作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【分析】
根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
如图，连接OA、OB、OD.
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选:B.
【点拨】考查三角形外心的概念，三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.
12．C
【分析】
根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．
①是圆周角定理的推论，故①正确；
②根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故②正确；
③根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故③正确；
④应是不共线的三个点，故④错误，
故选C．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的对称性，确定圆的条件等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13．C
【分析】
根据三角形外心的定义即可判断.
解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的相关知识，正确区分三角形的外心、内心、垂心、重心是解题的关键.外心：三角形中三边垂直平分线的交点；内心：三角形三条内角平分线的交点;垂心: 三角形三条边上高线的交点;重心: 三角形三条边上中线的交点.
14．A
【分析】
根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理
15．C
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
16．B
【解析】
【分析】
△ABC的外接圆的圆心是其三边垂直平分线的交点，要求它的坐标，先要在图形中找到这一点；在具体作△ABC的外心时，由于BC的垂直平分线就是一条网格线，AB的垂直平分线是以线段AB为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线，故只需作边AB和BC的垂直平分线即可，其交点就是△ABC的外心；确定外心的位置后，即可过外心分别向x轴、y轴作垂线，其垂足所对应的实数即为外心的坐标.
∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在边BC的垂直平分线上，又在边AB的垂直平分线上，
∴三角形的外接圆圆心的坐标为（5，2）.
故答案选B.
【点拨】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质.
17．C
【分析】
先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可．
如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
【点拨】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
18．B
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出AB=5cm，再利用直角三角形的外心为斜边的中点得到外接圆的半径为2.5cm，于是得到它的外心与直角顶点的距离．
解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5cm，
∴Rt△ABC为外接圆的直径为5cm，
即△ABC的外心为AB的中点，
∴它的外心与直角顶点的距离是cm．
故选B．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．掌握直角三角形的外心为斜边的中点是解题的关键．
19．C
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x==3.125．
故选C．
【点拨】本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
20．B
【解析】
【分析】
如图，根据已知得出当AB为圆的直径时圆形纸片的面积最小，进而利用勾股定理求出即可.
根据题意可知当AB为圆的直径时圆形纸片的面积最小，根据勾股定理，AB＝，∴能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为2.5.故选B.
【点拨】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理，得出圆形纸片半径最小时图形是解题关键.
21．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
22．C
【解析】
试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
23．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
解：是的外接圆，的半径为5，，
是等边三角形，
，
，
故选D．
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
24．D
【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【详解】由作图可知：AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，BD=3AB，
∴S△ABD=32AB2，
∵AC=CD，∴S△BDC=34AB2，
故A、B、C正确，
sin2A+cos2D=BD2AD2+BD2AD2≠1，故D错误，
故选D．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．B
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
26．B
【分析】
根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.
由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
【点拨】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
27．C
【解析】
试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.
故选C.
28．C
【分析】
由定边对等角，判断、、三点共圆，由中位线的性质当取最大值时，即取最大值时，根据圆内最长弦为直径即可求解．
解：由题知、、三点共圆，
M，N分别为AB，BC的中点，
，
当过圆心即是直径时（如图所示），取得最大值，此时取的最大值，
，
此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判定；能判断点的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
29．B
【解析】
【分析】
根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD=∠DBC=∠ABC，然后根据条件∠ABC=2∠C可证明∠ABD=∠DBC=∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB=CD，进而可得AC=AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确．
由题意可得BD平分∠ABC，
A. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴∠ADB=2∠C，
∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意；
B. ∵∠A≠∠ADB，
∴AB≠BD，故此选项符合题意；
C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，
∴DC=BD，
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+BD，故此选项不合题意；
D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意；
故选B.
【点拨】此题考查作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则.
30．D
【解析】
A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选D．
点睛：本题主要考查尺规作图，能正确地确定作图的步骤是解决此类问题的关键.
31．C
【分析】
以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．
解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，
过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∠A＝60°，AE＝6，
∴AF＝3，EF＝，
在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5，
∴OE＝，
∴PE＝﹣4，
即线段PE的最小值为﹣4，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．
32．D
【分析】
根据三角形的外心性质即可解题.
A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A错误；
B: 根据题意无法证明，故 B错误；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙的半径，故 C错误
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D正确
故答案为：D.
【点拨】本题考查了三角形的确定即不在一条线上的三个点确定一个圆，这个圆是三角形的外接圆，o是三角形的外心.
33．圆内
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP==5，
∵半径为6，
而6＞5，
∴点P在⊙O内．
故答案为：圆内．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
34．点在⊙O外
【分析】
首先利用根的判别式求出d的取值范围，然后与半径1进行比较即可得出答案．
∵关于x的方程没有实根，
，
解得，
∴点与⊙O的位置关系是点在⊙O外，
故答案为：点在⊙O外．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握一元二次方程无实数根的条件是关键．
35．
【分析】
根据题意，先计算AB、AC的长，结合直角三角形斜边中线的性质，得到，再利用勾股定理解得AD的长，根据点与圆的位置关系得到AP最长与AP最短的值，继而解得m的值．
连接AP，作射线AD，
由题意得，AB=，AC=
，D(4，5)
当点P在线段AD的延长线上时，AP最长，即AP=5+1=6；
当点P在线段AD上时，AP最短，即AP=5-1=4，
的取值范围是：，
故答案为：．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，涉及直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．4
【分析】
通过作图展示满足条件的格点，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行验证．
解：如图，
⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．
【点拨】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系．
37．
【分析】
连接AC，根据矩形的性质及勾股定理先求出AC的长，然后根据点与圆的位置关系及题意直接列式求解即可．
解：连接AC，如图，
四边形是矩形，
∠D=90°，AD=BC，
，，
，
由以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，可得：
⊙A半径的取值范围是，
故答案为．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
38．4
【解析】
【分析】
先根据摩天轮圆P的最高处A到地面的距离是82米,最低处B到地面的距离是2米得出AB的长，进而求出圆P的半径，再根据游客从B处乘摩天轮到地面的距离是62米求出BM、MP的长，根据直角三角形的性质得出∠MPE的度数，进而可得出结论.
解：∵摩天轮圆P的最高处A到地面l的距离是82米，最低处B到地面l的距离是2米得出AB的长，
∴AB = 80m,
∴AP= PB = 40m,
设当到点E或点F时游客从B处乘摩天轮到地面1的距离是62米，连接EP,FP，如下图所示，则EF⊥AB,
∵B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时BM= 62 -2 = 60m,
∴MP= 60- 40 = 20m,
∵MP=EP,
∴∠MEP=30°，∠EPM=60°
∴∠EPB=180°-60°=120°
∵游客从B处乘摩天轮绕一周需12分钟,
∴游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时最少需要12 = 4 (分钟).
故答案为:4.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，构造出直角三角形是解答此题的关键.
39．.
试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
40．2或3
【解析】
试题解析：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径=5-1=4，因而半径是2．
所以⊙O的半径为2或3．
41．外接 内接
【分析】
与三角形的各顶点都相交的圆叫做这个三角形的外接圆；这个三角形叫这个圆的内接三角形.据此解答本题即可.
是的外接圆，是的内接三角形．
故答案为外接，内接.
【点拨】本题主要考查的是三角形的外接圆与圆的内接三角形的概念：与三角形的各顶点都相交的圆叫做这个三角形的外接圆；这个三角形叫这个圆的内接三角形.
42．外接圆 垂直平分线 外心 三个顶点
【解析】
【分析】
根据三角形的外接圆定义和三角形外心的概念即可解答.
根据概念，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心是三角形三条边的垂直平方线的交点，叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等.
【点拨】本题考查了学生圆的外接圆、外心，掌握圆的外接圆和外心相关概念是解决此题的关键.
43．．
【解析】
试题分析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，得到OM⊥AB，由⊙O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON⊥DE于N，由⊙O是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．
试题解析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，
∴OM⊥AB，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆
∴∠ABO=30°，OA=OB，
∴BM=AB=，
∴OM=，
连接OD，过O作ON⊥DE于N，
∵⊙O是等边△DEF的外接圆．
∴OD=OM=，∠ODN=30°，
∴DN=，
∴DE=2DN=．
考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心．
44．
【分析】
由已知可得是钝角三角形，则点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，根据直角三角形的性质可求得BC的长，再根据圆的面积公式计算即可．
解：∵，点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
故所求圆形纸片的面积是．
故答案为：
【点拨】本题考查能覆盖三角形的最小圆，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 本题易将所求圆错认为是的外接圆，能使锐角三角形或直角三角形被完全覆盖的最小圆是它的外接圆，能使钝角三角形被完全覆盖的最小圆不是其外接圆，而是以其最长边为直径的圆．
45．
【分析】
作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可．
解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，
∵ P点坐标是P（5，2），
∴ 外接圆的圆心坐标是（5，2）．
故答案为（5，2）．
【点拨】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
46．（4，）
【解析】
【分析】
如图，根据题意，可知线段AB的垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心F的横坐标为4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2=22+(5-r-2)2，求出r后即可求得圆心的坐标.
如图，∵A（2，2），B（6，2），
∴线段AB的垂直平分线为x=4，
∵C（4，5），
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴过A、B、C三点的圆的圆心F在线段AB的垂直平分线上，
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2=22+(5-r-2)2，
解得：r=，
∴FE=CE-CF=5-=，
∴过A、B、C三点的圆的圆心F的坐标为（4，），
故答案为（4，）．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理等，理解圆心的作法是解决本题的关键．
47．（5，2）
【分析】
找出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心，再利用勾股定理即可求出半径．
∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵BC与AB的垂直平分线交于点(5,2)，
∴点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，
∴(5,2)点是三角形的外接圆圆心.
∴△ABC外接圆的半径为，
.
故答案为（5，2）；.
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心.利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC外接圆的圆心是解题的关键.
48．
【分析】
连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，根据垂径定理、坐标与图形性质求出点H的坐标，根据勾股定理计算即可．
解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，
由垂径定理得，点H为的外接圆的圆心，
、点、，
点H的坐标为，
则外接圆的半径，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、坐标与图形性质，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
49．
【解析】
分析：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；
详解：如图，连接AC、BD交于点O′．
当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x=，
∴OE=4-=，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E=AB=2，
∴OO′=O′E-OE=，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′=．
故答案为:．
点睛：本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹．
50．
分析：根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．
详解：∵a+b2+|c-6|+28=4+10b，
∴（a-1-4+4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（-2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴−2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r=，
故答案为．
点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
51．5
【分析】
根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
∵三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，
∴此三角形是以10为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为5．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
52．
【解析】
【分析】
直角三角形的外接圆半径是斜边的一半；直角三角形内接圆半径是两直角边的和与斜边的差的一半.
直角三角形的两条直角边长分别为和，则斜边为10cm，而直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，所以，外接圆半径为5cm；直角三角形内接圆半径是两直角边的和与斜边的差的一半，即内接圆半径=（6+8–10）=2cm.
【点拨】掌握直角三角形内接圆和外接圆半径的求法是解题的关键.
53．130°
【分析】
由已知条件点I是△ABC的外心，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结果．
∵∠ABC=70°，∠ACB=45°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°，
∵点I是外心，
∴∠BIC=2∠A=130°，
故答案为：130°．
【点拨】此题考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理；由圆周角定理得出结果是解题的关键．
54．直角三角形
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点．
55．或
【解析】
【分析】
由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可．
解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），
故答案为或．
【点拨】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点．
56．
【分析】
因为为直角三角形，直角三角形的外心在斜边中点处．的外心在斜边的中点上，可得，设交于点P，根据对称的性质直线垂直平分，得，由两直线互相垂直知在直线上，代入可得b的值．
解：为直角三角形，
的外心在斜边的中点上（直角三角形的外心在斜边中点处），
，
，
，
连接，如图，
设交于点P，
∵点是由O关于对称而来，
∴直线垂直平分（对称的性质），
为中点，
，
，
∵直线与垂直，
，
，
∵直线过，
，
，
故答案为．
【点拨】本题考察三角形外心的定义、一次函数值的几何意义、中点坐标公式和待定系数法求解析式．解题的关键在于通过相关知识找到直线上的点的坐标，再利用待定系数法求解．
57．线段的垂直平分线的性质
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
58．能
【解析】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
59．3
【解析】
∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为BD=3．
故答案为3．
【点睛】解题的关键是：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线．
60．18
【分析】
连接BE、CM，证明△ACE≌△BCF（SAS），推出∠MFB=，利用∠CFM=∠CBM=，得到C、M、B、F四点共圆，推出∠BCM=∠MFB=，从而求出AM=BM，得到；由CE∥BF推出，根据四边形ABFC的面积=求出结果．
解：连接BE、CM，
∵，，
∴，
∵，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CFB=∠CEA=，
∵∠CFE=，
∴∠MFB=，
∵∠CFM=∠CBM=，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=，
∴∠CMB=，
∵AC=BC，
∴AM=BM，
∴；
∵∠ECF=∠CFB=，
∴∠ECF+∠CFB=，
∴CE∥BF，
∴，
∵四边形AMEC的面积=
∴四边形ABFC的面积==，
故答案为：18．
．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定及性质，四点共圆的判定及性质，同底等高三角形面积的证明，这是一道较难的三角形综合题，熟练掌握各部分知识并综合运用是解题的关键．
61．该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【解析】
【分析】
由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆．
如图，连接OA、OC，
由作图知BA=BO、OC=OA，
∵AB=AC，
∴AB=OB=OC=AC，
∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB=OA=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【点拨】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义．
62．①②④
【分析】
①正确．根据可以推出结论．
②正确．连接DM，证明∠BDM＝∠DMN即可．
③错误．首先证明BD＝BM＝DN，再根据BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判断．
④正确．证明△MON是等腰直角三角形即可判断．
解：由作图可知：，
∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正确．
连接DM，
∵，
∴∠BDM＝∠DMN，
∴BD∥MN，故②正确，
∵，
∴BM＝BD＝DN，
∵BM+BD+DN＞MN，
∴MN＜3BD，故③错误，
若∠AOC＝30°，则∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴MN＝ON，故④正确．
故答案为①②④．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧，圆心角，弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
63．甲 内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等
【分析】
甲：由内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等可得；
乙：由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等可得.
解：甲、∵∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AP＝CB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠B＝∠APC，
故甲作法的依据为：内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等.
乙、∵a为AB的中垂线、b为BC的中垂线，且交点为O，
∴OA＝OB＝OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OA为半径的圆上，
∴∠APC＝∠ABC，
故乙作法的依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等.
故答案为：甲、内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等.
【点拨】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定及中垂线的性质、圆周角定理是解题的关键.
64． 取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足
【分析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
（1）AB＝=，
故答案为：；
（2）如图，取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足，
故答案为：取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足．
【点拨】本题考查了作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
65．（1）（2，0）；（2）在圆内．
【分析】
（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；
（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
（1）如图1，点M就是要找的圆心；
圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径AM==．
线段MD==＜，所以点D在⊙M内．
【点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
66．（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】
（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点拨】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
67．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用矩形对角线相等且平分的性质分别作出AB、AC的中点D、E， BE、CD的交点G即为的重心；
（2）利用菱形或正方形对角线互相垂直平分的性质作出AB、AC的中点P、Q， BQ、CP的交点O即为的外心
（1）如图1所示：点G即为所求：
（2）如图2所示：点O即为所求．
【点拨】本题考查作图-应用与设计，矩形、菱形、正方形性质，以及三角形重心、外心的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
68．（1）见解析
（2）见解析
（3）
【解析】
（1）如图：
（2）如图：
（3）从图可知：外心也是向下移动了4个单位，向左移动了1个单位．
故根据勾股定理得：
故答案为
69．（1）5；（2）12
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；
（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．
解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
70．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌；
由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解；
由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解．
证明：，且，
，
，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边AC的中点，
的外心在直线DE上，
点D是AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
71．有，，理由见解析.
【分析】
此题根据已知条件即可判断四点A、B、C、E共圆，再根据圆周角定理的推论“同弧所对的圆周角相等”即可求解．
有，．理由如下：
∵，
∴四点、、、共圆（在一条边的同一侧，该边所对的两个角相等，则四点共圆）．
∴．
【点拨】本题考查了圆周角定理与确定圆的条件，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与确定圆的条件.
72．小淇同学作法正确．理由见解析
解：小淇同学作法正确．连接OB．由作法可得OA=OC=OB．再由三角形内角和可得∠ABC=90°，从而得AB⊥l．
试题解析：小淇同学作法正确．
理由如下：连接OB．
∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，∴OA=OC=OB．
∴∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO，又∵∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°，
∴∠ABO+∠CBO=90°．∴∠ABC=90°，即AB⊥l．
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